 |
Al.5. Граница диэлектриков: отражение, преломление и перенос волны
|
|
|
|
Очень просто в геометрической оптике можно сформулировать основные законы отражения и преломления на границе между двумя диэлектриками (Рисунок A1.9):
| Рисунок A1.7. Преобразование расходящейся сферической волны в сходящемся объективе в плоскости волны |
| Плоский фронт волны |
| Лучи |
| Сферический фронт волны |
| Линза |
| Рисунок A1.8. Преобразование расходящейся сферической волны в собирающем объективе в сходящуюся волну |
| Источник |
| Линза |
| Изображение |
• отраженный и преломленный лучи, лежат в плоскости падения (т.е. плоскости, которая ортогональна к границе диэлектриков и содержит падающий луч).
• угол отражения 
равен углу падения 
.
• угол преломления 
определяется законом Снелля:
(A1.71)
где n 1 и n 2 – соответствующие показатели преломления диэлектрических сред.
| Рисунок A1.9.Отраженный и преломленный лучи на границе диэлектриков: (a) от низкого показателя преломления n 2 к высокому n 1; (b) от высокого n 1 к низкому n 2 |
| Поверхность раздела |
| Поверхность раздела |
Эти законы дают угловое отклонение лучей, но расчет на поверхности соотношения разделения интенсивностей, называемых коэффициентами Френеля, требует более сложного анализа, который использует граничные условия электромагнитного поля на поверхности.
Для обычных случаев (т.е., 
) отношение интенсивностей между падающим и отраженным лучами называется отражательностью Френеля 
(A1.72)
Отношение интенсивностей между отраженным и падающим лучами называется проницаемостью
(A1.73)
Можно видеть, что
В частности, на поверхности между кремнеземом волокна (n 1 = 1,45) и воздуха (n 2 = 1),
и 
Обратите внимание, что проницаемость и отражательность имеют одинаковые значения в обоих направлениях (т.е. когда падающий луч приходит из среды с низким коэффициентом преломления или из среды с высоким коэффициентом преломления). Это первый случай фундаментального принципа взаимности распространения света.
|
|
|
Для других случаев результат более сложен и зависит от состояния поляризации, которая может быть параллельной плоскости падения, обозначаемая индексом // или p, или может быть перпендикулярной плоскости падения, обозначаемая индексом 
или s (от немецкого senkrecht). Несколько важных результатов можно отметить (Рисунок A1.10):
| Рисунок A 1.10. Коэффициенты отражения Френеля для показателя преломления 1,45 s и p поляризации |
| 100% |
| 0о |
• отражательность и проницаемость остаются примерно постоянными в конусе приблизительно в 10° вокруг нормали падения.
• отражательность для s поляризованных волн монотонно возрастает до 90 град падения в среду с низким коэффициентом преломления.
• отражательность для p -поляризованной волны уменьшается до нуля для угла падения, называемого углом Брюстера, и затем увеличивается до единицы. Луч, падающий под углом Брюстера, и отраженный луч, перпендикулярны (Рисунок Al.11):
(A1.74)
и так как 
| Рисунок A l.11. Сфера действия закона Брюстера |
| S и P |
| S и P |
| Только S |
(A1.75)
Между кремнеземом (n = 1,45) и воздухом (n 2 = 1), имеется
, 
Имеется предел угла отражения 
, для угла падения 90 град в среду с низким коэффициентом преломления, для которой отражательность равна 1 (Рисунок A1.12):
(A1.76)
(A1.77)
Если пучок, приходящий из среды с высоким показателем преломления, падает под углом, большим, чем , свет не может быть преломленным в среде с низким показателем преломления, и он полностью отражается. Это явление называется полным внутренним отражением, и оно является основой диэлектрического волновода. Световой луч, соприкасающийся с
|
|
|
| Полное отражение |
| Рисунок A1.12. Полное внутреннее отражение на границе диэлектриков |
диэлектрической поверхностью пластины, может продвигаться внутри пластины потому, что его распространению способствуют многократные внутренние отражения на ее поверхности (Рисунок A1.13). Синус максимального входного угла θmax в вакууме, дающий внутреннее отражение, называется числовой апертурой (NA), определяемой как
| Рисунок А1.13. Диэлектрический волновод с его числовой апертурой NA |
(A1.78)
A1.6. Интерференция
Как мы уже видели, частота оптических волн является настолько большой, что невозможно измерить непосредственно модулированное электромагнитное поле, особенно его фазу.
Тем не менее, косвенные измерения интенсивности возможны через явление интерференции.
В интерферометре вводимая световая волна расщепляется, распространяется вдоль двух различных путей и складывается на выходе. Общее поле интерферированной волны векторно складывается из двух полей, которые распространялись вдоль обоих путей:
(A1.79)
где 
– фазы, соответствующие полям E1 и E2.
Интенсивность интерференционных волн пропорциональна временному осреднению скалярного произведения поля:
(A1.80)
и, следовательно
(A1.81)
Общая формула интерференции
(A1.82)
где I 1 и I 2 – интенсивности интерферирующих волн и 
– их разность фаз, вызванная разностью Δ L op между обеими оптическими путями n 1 L 1 и n 2 L 2:
(A1.83)
Существует максимальная интенсивность I max, при которой обе волны совпадают по фазе (
– целое число); и амплитуды двух полей складываются:
(A1.84)
(A1.85)
и есть минимум интенсивности I min, когда обе волны в противофазе (
); то есть амплитуды двух полей будут вычтены:
(A 1.86)
(A 1.87)
Обратите внимание, что эти результаты предполагают, что оба поля имеют одно и то же состояние поляризации. Если они имеют ортогональные состояния поляризации, интерференция подавляется, поскольку скалярное произведение 
.
Интерферометрии является очень чувствительным методом для измерения различных параметров, потому что весь динамический диапазон измерения между I max и I min развертывается на изменение разности фаз на π, которая индуцируется в результате изменения λ/2 оптической разности хода (т.е. изменение меньше микрометра).
|
|
|
Особый интерес представляют два случая:
1. I 1 = I 2, то (Рисунок A1.14(a))
(A1.88)
Интерференция "отлично" контрастирует, следовательно
и контрастность или видимость интерференционной полосы 
определяется
(A1.89)
2. I 1>> I 2, (Рисунок A1.14(b))
(A1.90)
Интерференционная полоса видна
(A1.91)
| Рисунок A 1.14. Ответ интерферометра: (а) идеальная контрастность; (b) низкая контрастность |
с 
; то есть является относительным изменением пик за пиком сигнала интерференции 
. Она пропорциональна квадратному корню из отношения интенсивностей (т.е. поля или отношения амплитуд), а не мощностей или отношения интенсивностей. Например, при отношении интенсивностей 10–4 по-прежнему дает видимость интерференционных полос из 2×10–2. Этот эффект используется в так называемых схемах когерентного обнаружения, в которых высокомощные местные осцилляторы света интенсивностью IL интерферируют с сигналом малой мощности интенсивностью IS. Вместо непосредственных измерений малоинтенсивной IS измеряют интерференционный сигнал:
(A 1.92)
Сигнал IS "усиливается" коэффициентом 
.
Среди самых известных интерферометров интерферометр Майкельсона (Рисунок A1.15), в котором свет разделяется в плоскости расщепления луча, отражается обратно на двух зеркалах и рекомбинирует в плоскости расщепления луча. Сканирование одного зеркала вдоль расстояния d дает оптическую разность хода Δ Lop, которая просто равна геометрической разности хода Δ L, поскольку свет распространяется в вакууме:
| Рис. А1.15. Интерферометр Майкельсона |
| зеркало |
| свободный порт |
| Общий порт ввода- вывода |
| зеркало |
| разделитель |
Заметим, что общая формула интерференции, в которой интенсивность I может быть больше, чем сумма I 1 + I 2, не является нарушением принципа сохранения энергии. Входная интенсивность I in разбивается на две волны соответствующих интенсивностей: 
, где 
– отражательность разделителя и 
– проницаемость разделителя, с 
1. Эти две волны делятся снова, когда они вернутся на разделитель луча. В свободном порту выхода наблюдается интерференция между 
и
|
|
|
(A1.93)
В общем порту ввода вывода наблюдается интерференция между 
и
(A1.94)
Из-за сохранения энергии два выходных порта должны дополнять:
(A1.95)
и
(A1.96)
так как
(A 1.97)
Это означает, что 
. Эта разница π из-за внутреннего фазового сдвига, вызванного отражением.
Обратите внимание, что интерференционные полосы видимы всегда только на свободном порту интерферометра Майкельсона, где обе интерферирующие волны имеют одинаковую интенсивность, но она зависит от баланса на разделителе в общем порту.
Этот результат дополнительных мощностей, принимая во внимание принцип сохранения энергии, может быть обобщен на любой интерферометр без учета потерь.
Другим известным интерферометром является интерферометр Маха-Цендера (Рисунок A1.16). Свет отделяется от первого делителя луча, распространяет по двум различным путям и рекомбинирует на втором делителе луча.
До сих пор мы рассматривали интерферометр как систему, использующую монохроматический источник с заданной длиной волны λ0 (и дающей пространственную частоту σ0=1/λ0) и имеющий периодический отклик в зависимости от оптической разности хода Δ Lop:
| Ввод |
| Дополнитель-ные выходы |
| Рисунок A1.16. Интерферометр Маха-Цендера |
(A1.98)
Обратите внимание, что интерферометра в качестве альтернативы можно рассматривать как фильтр длины волны. Фактически для заданной разности хода Δ L op0, отклик является функцией длины волны λ (или пространственной частоты σ), т.е.
(A 1.99)
|
|
|
