Группа подобий и её подгруппа.
24. 1) Диф. ур-я 1-го порядка. О: Диф. ур-ем наз. ур-е, в которое входит хотя бы одна производная некоторой искомой ф-ции и могут входить искомая ф-ция и независимая переменная. Если иском. ф-ция зависит только от одной переменной, то ур-е наз. обыкновенным диф. ур-ем, если от нескольких, то ур-е наз. ур-ем частных производных. О: Порядком диф. ур-я наз порядок наивысшей произв-ой, входящей в ур-е. Ур-е 1-го пор-ка в общ. виде запис-ся: F(x,y,y/ )=0 – неявный вид, y/=F(x,y) – явный вид. Ур-е n -го пор-ка запис-ся: F(x,y,y/,y//,…,y(n))=0 – неявный вид, y(n)=F(x,y,…,y(n-1))- явный вид. О: Решением диф.ур-я на нек-ром множ-ве наз. всякая ф-ция, обращающая на данном мн-ве это ур-е в тождество. Поиск нахождения решения диф. ур-я наз. интегрированием диф. ур-я. График решения диф. ур-я наз. интегральной кривой. Н-р: y/=2x, решение: y=x2, y=x2+С. Интегр-ми кривыми явл-ся параболы. Вообще, ур-я 1-го пор-ка обычно им. б/много реш-ий, кот. м/о запис. в виде: y=j(x,С) – явный вид, Ф(x,y,С)=0 – неявный вид. Такое реш-е зависит от произвольной пост-ой С, оно наз. общим реш-ем диф. ур-я. Графиком общего реш-я явл-ся сем-во интегральных кривых. О: Реш-е диф.ур-я, полученное из общего при конкретном значении С наз. частным решением диф.ур-я. Частное реш-е нужно выделять из общего заданием начального условия, кот. закл-ся в том, что при x=x0 искомая ф-ция y=y0. Нач. усл. запис-ся так: y(x0)=y0 или y/ x=xo=y0. Н-р: Найти частн. реш-е, удовл-щее условию y(2)=5. y/=2x, реш-е: y=x2+C; 5=22+C Þ C=1; частн. реш-е: y=x2+1. Геометрически задание нач-го усл-я означ. выбор из всего семейства интегр-х кривых той, кот. проходит ч/з т.(x0,y0). Найдем общ. реш-е ур-я S//(t)=kt, проинтегрировав его дважды: S/(t) = (kt2/2) + C1, S(t) = (kt3/6)+C1t+C2. Вообще, общее реш-е 2-го пор. завис. от 2-х произв-х постоянных. Для выбора частного реш-я нач. усл-е задается след. образом: S(t0)=S0, S/(t0)=V0.
Общ. реш-е ур-я n -го пор. м/о запис. в виде: Ф (x,y,C1,C2,…,Cn)=0 – неявный вид. Нач. усл. им. вид: y(x0)=y0, y/(x0)=y/0, y//(x0)=y//0,…, y(n-1)(x0)=y0(n-1). Задача поиска реш-я диф.ур-я, удовлетворяющая нач-ым условиям наз. задачей Коши. Теор. сущ-ния и ед-ти реш-я з-чи Коши: Если в ур-ии y/=f(x,y) ф-ция f(x,y) и её частн. производная дf/дy непрерывны в нек-рой обл-ти D, содержащей т.(x0,y0),то сущ-ет ед. реш-е данного ур-я y=j(x), удовл-щее нач. усл-ю y0=j(x0). (В усл-ях теоремы ч/з кажд. точку обл-ти D прох. ед. интегр. кривая.) 3)Теорема о существовании и единственности решения у=у(х) диф.ур. у¢=f(x,y) в некоторой окрестности точки х0, подчиненного условию у=у0 при х=х0. Пусть f(x,y) – непр. по переменной х; f¢y(x,y) $ и ограничена: ½ f¢y(x,y)½£M в окрестности точки (х0, у0). Легко видеть, что уравнение у¢=f(x,y) эквивалентно уравнению у=у0+∫f(x,y)dx, если потребовать от решения у(х): у=у0 при х=х0. Достаточно убедиться, что оператор Ау=у0+∫f(x,y)dx сжимающий в С[a,b] для непр. функций у=у(х), где у0=у(х0). Здесь [a,b] достаточно малый отрезок в окрестности точки х0; х0 – его внутренняя точка. Имеем: r(Ay1, Ay2)=max([a,b])½Ay1-Ay2½£ ½∫max([a,b])│f(x,y1)-f(x,y2)│dx│=│∫max([a,b])(│f′y(x,y1+α(y2-y1))││y2-y1│)dx│≤Mρ(y1,y2)│x-x0│. Ясно, что для достаточно малой окр-ти точки х0 разность │х-х0│ мала и значит оператор А – сжимающий. Отрезок [a,b] надо выбрать так, чтобы он находился в пределах проекции исходной окрестности точки (х0, у0) на ось ОХ и выполнялось нер-во М(b-a)<1. (см. рис)
По теореме Банаха $ единств. неподвижная точка Ау=у. Это ф-я у=у(х) (где у0=у(х0)), которая явл. решением диф. ур. у¢=f(x,y). О: Общим решением диф. ур-я 1-го пор. F(x,y,y/)=0 наз. ф-ция y=j(x,C), зависящая от одной переменной и одной произвольной постоянной и удовл-щая 2-м условиям: 1) Эта ф-ция явл-ся реш-ем данного диф.ур-япри любом конкр. знач-ии С; 2) Каково бы ни было нач. усл. y=y0 при x=x0, м/о найти такое С=С0, что ф-ция y=j(x,C0) удовл-ет указанному нач. усл-ю, т.е. j(x0,C0)=y0 .
Т.о. из общего реш-я нах-ся не все реш-я диф.ур-я, а т/о такие, кот. яв-ся единственными при нек-рых нач. усл-ях. М/т сущ-ть реш-я диф.ур-ий, кот. не м. б. получены из общего; это такие, ч/з каждую точку к-рых проходит более одной интегр. кривой. О: Реш-е диф.ур-я наз особым, если ч/з каждую его точку прох-т по крайней мере ещё одна, касающая его интегр. кривая.(Это реш-е не возник-т из общего ни при каком значении произвольной пост-ой С). Точки, ч/з кот. прох-т более одной интегр. кривой или ни одной интегр. кривой, наз. особыми. (Усл-е теоремы сущ-ния и ед-ти реш-я диф.ур-я в этих точках нарушены).
2) Преобразование подобия в плоскости. Опр., св-ва, классификация, применение к реш-ю з-ч. О1: Подобием с коэф-ом k>0 наз. произведение гомотетии с этим же коэф -ом и произвольным центром на движение j= H0kg. j - подобие, H0k- гомотетия, g – движение. Св-ва подобия: 10. При подобии с коэф-ом k все расстояния умножаются на k. H0k: M®M/, N®N/, êM/N/ ê=kúMNú Þ êM//N// ê= kúMNú g: M/®M//, N/®N//, êM//N// ê=úM/N/ú 20. H0k=1 = e, j=eg=g, т.е. движение – частный случай подобия. g=e, j= H0ke=H0k – гомотетия – частн. случай подобия. 30. Если при преобразовании j: M®M/, N®N/ и выполняется рав-во êM/N/ ê =kúMNú, то j - подобие с коэф. k. êM*N* ê =kúMNú Þ f1: M®M*, N®N*Þ f1=H0k- гомотетия. êM/N/ ê =úM*N*ú Þ f2: M*®M/, N*®N/ Þ f2=g – движение. f1f2= H0kg=j - подобие. О2: Подобием с коэф. k называют такое преобразование пл-ти, при кот. расстояние м/у двумя точками умножается на k. 40. Подобие м/о предст-ть в виде произведения движения на гомотетию с произвольным центром и с коэф-м. j - подобие с коэф-м Þ j= H0kg (на основании О2). g: M®M*, N®N*, êM*N* ê =úMNú, H0k: M*®M/, N*®N/, êM/N/ ê=kúMNú,сл-но gH0k: M®M/, N®N/; так что вып. рав-во êM/N/ ê=kúMNú Þ на основ. О2 Þ gH0k – подобие. Гомотетия – частн. вид подобия. О: Гомотетия с данным центром О и коэф. kÎR, k¹0 наз. такое отображение плоскости на себя, при кот. вып. рав-во для любой т.М и её образа М/, = k . k>0 – прямая гомотетия, k<0 – обратная гомотетия. При k=1 = . Аналитическое выражение: x/=kx, y/=ky. Задание гомотетии: 1) М/о задать центром и коэфф-м; 2) Парой соотв-щих точек(M,M/) и (N,N/) так, чтобы MN êêM/N/,а прямые MM/ и N не êê.
3) Гомот-я м.б. задана центром О, т.А, т.А/; О, А, А/ должны лежать на одной прямой. 4) Гомот-я м.б. задана аналитически с пом. формул, выражающих коор-ты образа ч/з прообраз. Св-ва гомотетии: 1. При гомот. с коэф-м k все расстояния умн-ся на êk ê. H0k: M®M/, N®N/ Þ êM/N/ ê= êk êúMNú. = - = k - k = k( - ) =k , = k Þ M/N/ êêMN и êM/N/ ê=êk êêMNê. 2. При гомот. прямая преобр-ся в паралл-ю ей прямую. H0k: (MN) ® (M/N/) и M/N/ êêMN, т.к. векторы паралл-ны. 3. Прямая, прох-щая ч/з центр гомотетии, преобразуется в себя. (MN) прох. ч/з т.О Þ (M/N/)=(MN). 4. При гомот. сохраняется деление отрезков в данном отношении. Док-ть: , Док-во: . 5. При гомот. отрезок преобраз. в отрезок, луч в луч. H0k: [AB]={AB, M: M/AB}®{A/, B/, M//A/B/}=[ A/B/]. 6. Паралл-е прямые преобр-ся в паралл-е прямые (паралл-сть прямых при гомотетии сохр-ся).
l1 // l2 Þ . Группа гомотетоий. Т: Множество всех гомотетий с одним и тем же центром образует группу относительно операции композиции преобразований. Для док-ва этой теоремы дост-но проверить 2 треб-ния, к-рым должна удовл-ть указанная операция, т.к. мн-во всех преобразований образует группу, сл-но дост-но проверить треб-ние лишь д/подгруппы. 1) Оп-ция на данном мн-ве д.б. выполнимой, т.е. композиция гомотетий с одним центром явл-ся гомотетией с тем же центром. Дано: H0k1, H0k2. Д ок-ть: H0k2 °H0k1 –гомотетия. Док-во: проверим для т-ки М: H0k2 °H0k1(М)= H0k2 (H0k1(М))= H0k2 (М/)=М//, где H0k1(М)=М/. По опр. H0k: = k1 , = k2 , = k2k1 . Т.о. композиция данных гомотетий перевела М®М//, к-рые связаны записанным выше усл-ем Þ H0k2 °H0k1= H0k2k1. 2) Преобраз-е, обратное гомотетии явл-ся гомотетией с тем же центром(Сущ-ние нейтрализующего эл-та). H0k: М®М/, = k ; (H0k)-1: М/®М, =(1/k) ; Сл-но, (H0k)-1= H01/k. О: Подобием с коэф-ом k>0 наз. произведение гомотетии с этим же коэф-м и произвольным центром на движение. j=Н0k g (j - подобие, Н0k- гомотетия, g –движение). Группа подобий и её подгруппа. Мн-во всех подобий образует группу. 1) j1- подобие с коэф. k1, j2- подобие с коэф. k2. Док-ть: j1°j2- подобие.
Док-во: Т.к. подпбие с коэф-ом – это такое преобразование пл-ти, при к-ром расст-е м/у любыми 2-мя точками изменяется на k. j1: M®M/, N®N/ иú M/N/ú=k1ú MNú, j2: M/®M//, N/®N// иú M//N//ú=k2ú M/N/ú, сл-но ú M//N//ú=k1k2ú MNú. Сл-но композиция j1°j2 есть подобие с коэф-ом k1k2. 2) Преобраз-е, обратное подобию, явл-ся подобием с коэф-ом, обратным данному коэф-ту. j: M®M/, N®N/ иú M/N/ú=kú MNú, j -1: M/®M, N/®N иú MNú=(1/k)ú M/N/ú, сл-но j -1- подобие с коэф-ом 1/k. В группе подобий подгруппы движений и подгруппы гомотетий с данным центром. Система x/=k(x cosa - ey sina)+x0, y/=k(x sina + ey cosa)+y0, Это формула подобия.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|