Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

К дифференциалу аргумента.




Формула для дифференциала функции очень важна при взятии интегралов, приближенного вычисления функции в данной точке и решении дифференциальных уравнений.

 

Геометрический смысл производной.

Пусть функция y=f(х) определена на отрезке X=[a;b] и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х, а точка Р значению х+∆х (смотри Рис.1). Проведем через точку М и Р прямую и назовем ее секущей (S1). Значение функции в точках М и Р

равно f(х) и f(х+∆х) соответственно. Из рассмотрения Рис. 1 видно, что тангенс угла наклона секущей S1 равен

 

Касательной S к графику функции y=f(х) в точке М (х;у) будем называть предельное положение секущейМР(S1) при Р→М‚ т.е. при Δх→0.

 
 

 

 


f(x+Dx)

 

 

f(x)

 

 

Рис. 1.

Производная функции y=f(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке М (х;f(х)) = М(х,y):

 

f'΄(х) = tg φ0 =

Физический смысл производной.

Пусть функция s=s(t) описывает закон движения материальной точки М по прямой траектории, т.е. s=s(t) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время t. Тогда путь, пройденный М за время t + ∆t равен f(t + ∆t). За промежуток времени ∆t тело М пройдет путь, равный

∆s= s(t + ∆t) —s(t).

 

Средняя скорость Vср. движения точки М на отрезке ∆у за время ∆t равна:

Vср= ∆s/∆t.

Предел данного отношения при ∆t→ 0 называется мгновенной скоростью движения тела М в момент времени t:

По определению это и есть производная функции s=s(t) в точке t, т. е. производная функции s=s(t) в момент времени t есть мгновенная скорость тела М в данной точке.

 

Производная сложной функции.

До сих пор при нахождении производной предполагалось, что производная находится для функции у=f(х), где аргумент х—простая независимая переменная. Однако, в свою очередь, x может быть какой-то функцией, т.е. х = φ(t). Требуется найти производную такой сложной «двухэтажной» функции у=f[φ(t)] по аргументу t.

Докажем следующее правило для нахождения производной сложной функции у = f[φ(t)]:

 

у't=f'′x ∙ φ't

Доказательство.

 

По определению нахождения производной:

Уt' = lim f[φ(t+ t)] — f[φ(t)]

Δt→0 t

Умножим и разделим числитель и знаменатель на выражение φ(t+∆t) — φ(t) и перегруппируем сомножители числителя и знаменателя:

Уt' = lim f[φ(t+ t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0 tφ(t+∆t) — φ(t)

= lim f[φ(t+ t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0 φ(t+∆t) — φ(t) t

 

= f'′x ∙ φ't

Теорема доказана.

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от х через промежуточную элементарную функцию φ. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных каждая из которых элементарная функция. Однако правило дифференцирования остается таким же.

Пусть, например, у = f(х), где х=φ(u),u=ψ(v), v=λ(t). Тогда

 

У't= f'′х (х) φ'U(u) ψ'V(v) λ't(t).

 

Таблица производных

Элементарных функций.

Пользоваться определением производной функции для нахождения производной есть процедура, которая требует большого количества времени. Поэтому производные всех элементарных функции были найдены и сведены в таблицу. Таблица производных элементарных функций есть в любом учебнике по высшей математике, поэтому в данном пособии она приведена в качестве иллюстрации в небольшом объеме.

 

 

Функция f(х) Производная f'′(х)
f(х)=С С=const  
f(х)=хn nxn—1
f(х)=eх ех
f(х)=aх aх lna
f(х)=ln х 1/x
f(х)=sin x cos x
f(х)=cos x - sin x
f(х)=tg x 1/cos2 x
f(х)=ctg x -1/sin2 x
f(х)=arcsin x 1/
f(х)=arccos x - 1/
f(х)=arctg x 1/(1+x2)
f(х)=arcctg x -1/(1+x2)

 

На практике приходится дифференцировать алгебраические комбинации элементарных математических функций. Рассмотрим правила дифференцирования для двух простых функций U(х) и V(х):

 

(U+V)' = U'+V',

 

(UV)' = U'V+UV',

 

Примеры дифференцирования простых и сложных функций.

1. Y = х3 у'=3х2

2. Y = sin2x y´= cos2x(2x)΄ = 2cos2x

3. Y = sin32x y´=3sin 2x(sin2x)΄ = 3sin 2xcos2x(2x)΄= 3sin 2xcos2x(2)= 6sin 2xcos2x = 3sin2xsin4x

4. Y= xx у′= (xx) = (exlnx) = exlnx(lnx+1).

 

Приближенное значение функции при малых

Значениях аргумента.

Приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции, если приращение аргумента ∆x достаточно мало:

∆у = f(х+∆х)—f(х) ≈ dy ≈ f '(х)∆х.

Приближенное вычисление значения функции равно:

f(х+∆х) ≈ f(х)+f '(х)∆х.

В близи нуля (х=0) можно записать:

f(∆х) ≈ f(0)+f '(0)∆х.

Заменяя ∆x на x имеем: f(х) ≈ f(0) +f '(0)х.

В качестве примера рассмотрим функцию у=(1+х)1/2.

Вблизи нуля имеем:

 

y = у(0)+у'(0)х = (1+х)1/2 |x=0 + = 1 + х

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...