Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Основные методы интегрирования.




 

Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.

 

 

Метод интегрирования по формулам.

 

Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом òf(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.

 

Приведем несколько примеров.

 

1. ò(3cos x + 4x3 – ex )dx = ò3cos x dx + ò4x3 dx - òex dx = 3sin x + x4 - ex +C

 

2.

 

3.

 

=

 

Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства

 

F¢(x) = f(x).

 

 

Метод замены переменных.

 

В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования

x = j(t) позволяет свести неопределенный интеграл

 

òf(x)dx (1)

 

к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:

1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:

 

t = ψ(x)

 

2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:

f (x)=

dx = j¢(t)dt

(2)

3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:

(3)

4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:

F(t) + C = F(ψ(x)) + C (4)

Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢(ψ(x)):

 

F¢(ψ(x)) = f(x).

 

3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.

 

В данном примере один и тот же интеграл решен двумя разновидностями метода подстановки.

Найти неопределенный интеграл

 

 

1 способ.

 

1. = -

1.1. Делаем замену переменных: t = cos x

1.2. Выражаем старую переменную через новую: x = arccos t

1.3. По определению дифференциала:

dx = j¢(t)dt = (arccos t)′ dt =

dx=

 

1.4. sin2x + cos2x = 1, т.к. t = cos x, то sin2x + t2 = 1,

sin x =

1.5. Заменяем в первоначальном интеграле cos x, sin x, dx через t.

1.6. Первоначальный интеграл свелся к табличному относительно t. Найти интеграл относительно t.

1.7. При использовании метода подстановки надо помнить, что после взятия неопределенного интеграла необходимо возвращаться от новой переменной t к первоначальной переменной x. Возвращаемся от переменной t к переменной х.

 

2 способ.

 

2.

2.1. Вводим переменную t = cos x

2.2. Берем дифференциал от обеих частей и находим dx:

dt = - sin x dx

sin x dx = - dt

dx = - dt / sin x

2.3. Подставляем вместо cos x и dx их выражения через t в первоначальный интеграл и сводим его к табличному.

 

Определенный интеграл.

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...