ЗАДАЧА 1. дифференциальные уравнения движения точки
Стр 1 из 2Следующая ⇒ С. С. Родионов, С. И. Родионова, Л.А. Корнеев, А.Е. Королев
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Курган – 2011
С. С. Родионов, С. И. Родионова, Л.А. Корнеев, А.Е. Королев
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Методические указания и контрольные задания по разделу «Динамика»
Курган – 2011 УДК 531.8(07) Р-60
Родионов С.С., Родионова С.И., Корнеев Л.А., Королев А.Е. Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания по разделу «Динамика».– Курган.: Изд-во КГСХА, 2011.- 32 с. Рецензент профессор А.В. Фоминых Методические указания составлены на основании рабочих программ курса теорической механики для направлении подготовки «Агроинжененрия», «Строительство», «Техносферная безопасность». В указаниях представлены задачи по наиболее важным темам «Динамики», из которых можно формировать задания для студентов, обучающихся по указанным выше направлениям. Методические указания обсуждены и одобрены на заседании кафедры теоретической механики (протокол №8 от 27 апреля 2011 года), рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № от 2011года).
© ФГБОУ ВПО «Курганская государственная сельскохозяйственная академия имени Т. С. Мальцева», 2011 Содержание
ВВЕДЕНИЕ. 7 Задача 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ точки.. 8 Задача 2. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ипульса точки...14 ЗАДАЧА 3. Приницип даламбера 18 ЗАДАЧА 4. пРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА 26 Список литературы.. 35
ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика является основой для изучения таких дисциплин, как сопротивление материалов, строительная механика, теория механизмов и машин, детали машин и др.
Настоящие методические указания содержат задания и примеры решения задач по наиболее важным разделам динамики: дифференциальные уравнения движения точки, общие теоремы динамики, принцип Даламбера, ПРИНЦИП Даламбера-Лагранжа. Для выбора студентом задания следует пользоваться шифром, которым являются две последние цифры зачетной книжки (цифра 0 соответствует варианту 10). Решение начинается с уяснения условия задачи, перенесенного без изменения из методических указаний, т.е. рисунков и всей информации из таблицы. Текст задачи, являющийся общим для всех, можно не приводить. Далее выполняется чертеж (эскиз) конкретного задания, на котором все параметры (углы, размеры и т.д.) должны соответствовать конкретным условиям этого варианта. Чертеж должен быть крупным, аккуратным и наглядным, на нем должны быть показаны все обозначения, используемые в ходе решения задачи. В тех случаях, когда приводится числовое значение физической величины, указывается, как правило, единица измерения. Например: 18 рад/с, 5 об. (оборотов), 3 с. Если единица измерения не указывается, то подразумевается использование основной системной единицы. Например: S = 6t+23. В данном примере единица измерения длины - метр. Основными системными единицами являются также: с (секунда), м/с (метров в секунду), рад (радиан), Н (ньютон) и пр. Если же необходимо воспользоваться внесистемной или не основной единицей измерения, то такую единицу измерения необходимо указывать во всех случаях. Например: t = 2t+4 (час.), n = 3000 об./мин., S = t2+15 (км). Решения задач нужно сопровождать краткими пояснениями. ЗАДАЧА 1. дифференциальные уравнения движения точки
Материальная точка начинает движение в воздухе без сопротивления под углом a0 к горизонту с начальной скоростью u0 и на начальной высоте H0 (рисунок 1). Начальная скорость u0 и масса m приведены в таблице 1, остальные данные - в таблице 2. Также в таблице 2 вопросительным знаком отмечены параметры, которые следует определить в ходе решения задачи.
Таблица 1 – Начальная скорость точки
Таблица 2 – Исходные данные и искомые величины
Видно, что в зависимости от варианта таблицы 2 следует определить некоторые из приведенных параметров: длину полета L, угол падения aк, конечную скорость uк, время подъема до максимальной высоты tп, время спуска tсп, максимальную высоту Hmax, а также уравнение траектории y = f(x). Рисунок 1 - Схема задачи Пример 1 Материальная точка начинает движение под углом a0 = 30° к горизонту на высоте H0 = 2 м с начальной скоростью u0 = 10 м/с. Определить: L, aк, uк, tп, tсп, Hmax, y = f(x). Решение Укажем материальную точку на траектории и укажем действующие на нее силы (рисунок 2). На точку действует только одна сила – сила тяжести .Запишем дифференциальные уравнения движения для осей x и y.
Рисунок 2 – Схема к примеру 1
Так как мы получим дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, решаем их, интегрируя два раза. Выполним первое интегрирование уравнения (1) Возьмем интеграл ; . Т.к. m = const, mux = const, то ux = const, т.е. величина uх принимает во все время движения неизмененное значение: такое же, как в начале движения.
Вычислим ux = u0∙ cos a0 = 10 ∙ cos 30 ° = 8,7 . Таким образом, движение точки вдоль оси x является равномерным. Решаем уравнение (2). Разделяем переменные mduy = − mg ∙ dt или duy = − g∙dt. Интегрируем
Для определения константы С1 используем условие Подставляем эти значения в последнее выражение и вычисляем С1: uy0 = − g ∙ t0 + C1 u0 ∙ sina0 = − g ∙ 0 + C1; C1 = u0 ∙ sina0.
Уравнение (4) приобретает вид
Учитывая, что , переписываем уравнение (3) . Выполняем второе интегрирование Начальные условия Получаем C3 = 0. Тогда
Точно так же, учитывая, что , получаем из формулы (5) уравнение Решаем его
Начальные условия Получаем C4 = H 0. Тогда уравнение (7) приобретает вид
Зависимости (6) и (8) описывают изменение координат x и y с течением времени. Формулы (3), (5) – это зависимости скоростей , от времени. Определим tп, используя эти зависимости. В наивысшей точке uy = 0. подставим это значение в выражение (5). Получим уравнение
Из него определим время подъема . Определим Hmax. Подставим tп вуравнение (8) . . Определим полное время всего полета . В месте падения y = 0. Подставим это значение в уравнение (8) . Решаем квадратное уравнение с неизвестным
Корни уравнения Т.к. время полета должно быть > 0, то выбираем . Определим время спуска tсп
. Определим длину полета L, для этого подставим время полета в уравнение (6). L = u0 ∙(cos a0)∙ = 10 ∙ cos 30° ∙ 1,33 = 11,57 м. Определим конечную скорость vк по формуле
, , . Определим угол падения aк. , Чтобы записать уравнение y = f(x), нужно выразить t из уравнения (6) , и подставить в уравнение (8) . После преобразований получим
где х – аргумент, м; у – функция, м. Видно, что траекторией является квадратная парабола.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|