 |
Прогнозирование на основе анализа временных рядов
|
|
|
|
1. Выберите экономический показатель для исследования, используя данные Росстата (www. Gks.ru) или доступные Вам данные из других источников. При этом рекомендуется выбрать для исследования временной ряд с числом членов от 20 до 24. Обозначим длину временного ряда (число членов временного ряда) через n. Длина периода упреждения L=4.
Наблюдаемые значения исходного временного ряда обозначим через yt, t=1,2,…n
Представьте данные в таблице по форме, представленной в табл.1.
Таблица 1
Исходные значения наблюдаемого признака
| Временной период | Январь 2010 | Февраль | ||||||
| t | ||||||||
| Наблюдаемые значения, yt | … | … |
На основе анализа исходных значений временного ряда необходимо выявить тренд и экстраполировать его на период упреждения, построить прогноз значений исследуемого признака на L периодов.
2. Методом сравнения средних уровней выявите наличие тенденции в исследуемом временном ряду.
2.1. Разбейте исходный ряд на две примерно равные части по числу элементов (членов ряда). Обозначим через n1 число членов в первой половине исходного ряда, n2 - число членов во второй половине исходного ряда.
n = n1 + n2
2.2. Для каждой из половинок вычислите средние и исправленные дисперсии
Где
- среднее арифметическое значение первой половины исходного ряда
- среднее арифметическое значение второй половины исходного ряда
-исправленная дисперсия по первой половине исходного ряда
-исправленная дисперсия по первой половине исходного ряда
Результаты расчетов представьте в таблице по форме табл.2.
Таблица 2
Расчет показателей для оценки наличия тренда в динамическом ряду
|
|
|
| Первая половина временного ряда yt | _ (yt-y1)2 | Вторая половина временного ряда yt | _ (yt-y2)2 |
| y1 | y n1+1 | ||
| … | |||
| yn1 | yn | ||
| S | S | S | S |
2.3. Проверим гипотезу о равенстве дисперсий двух половиной исходного ряда на основе F-критерия Фишера-Снедекора.
Из вычисленных ранее исправленных дисперсий половинок исходного ряда определим максимальное и минимальное значение.
Рассчитаем значение случайной величины Fрасч.
Сравним вычисленное расчетное значение случайной величины Fрасч с табличным критическим значением Fкрит (a, k1, k2), при этом табличные значения случайной величины F определяется по специальным таблицам критических значений случайной величины, имеющей F-распределение (см. приложение 1),. еляется по специальным таблицам критических значений
Где a - вероятность погрешности. При этом уровень надежности составит 1-a.
Вы можете выбрать значение a самостоятельно. Рекомендуется выбрать уровень надежности (доверительной вероятности) равный 95% (или 0,95)или 99%(или 0,99), в этом случае a=1%(или0,01) или a=5%(или 0,05.)
Число степеней свободы 
k1 =n1-1,
Где n1- число членов той части ряда, которой соответствует большая дисперсия
Число степеней свободы k2 =n2-1,
Где n2- число членов той части ряда, которой соответствует меньшая дисперсия
 |
Если,,то гипотеза о равенстве дисперсий отвергается и проверить гипотезу о наличии тренда в динамическом ряду методом сравнения средних уровней нельзя.
Критические значения F-распределения, см. в приложении 1.
| | ||
В противном случае, расхождение между значениями и несущественно (случайно).
В этом случае проверяется основная гипотеза о равенстве двух частей временного ряда на основе t-критерия Стьюдента (см. приложение 2).
|
|
|
Для этого вычислим расчетное значение t-критерия по формуле:
 |
 |
Если выполняется неравенство при выбранном уровне доверительной вероятности 1-a и числе степеней свободы k =n1+n2-2,
То расхождение между средними половинок и незначимо (случайно) и, значит, тенденция (тренд) отсутствует.
Иначе – расхождение между средними существенно и тенденция (тренд) существует.
Критические значения распределения Стьюдента представлены в приложении2.
- Определим параметры аналитического уравнения линейного тренда
Где
Значение тренда в точке t.
Значения a0 и a1 определяются исходя из решения вышеприведенной системы уравнений.
Вычисления необходимо представить в таблице по форме 3.
Таблица 3
Расчет показателей для оценки параметров линейного тренда
| t | yt | t2 | t*yt | __ yt | __ (yt - yt)2 | _ _ (yt - y)2 |
| .. | ||||||
| n | ||||||
| S | S | S | S | S | S | S |
- Определим параметры аналитического уравнения гиперболического тренда
 |
Где
Значение тренда в точке t.
Значения a0 и a1 определяются исходя из решения вышеприведенной системы уравнений.
Вычисления необходимо представить в таблице по форме 4.
Таблица 4
Расчет показателей для оценки параметров линейного тренда
| t | yt | 1/t | (1/t)2 | yt/t | __ yt | __ (yt - yt)2 | _ _ (yt - y)2 |
| .. | |||||||
| n | |||||||
| S | S | S | S | S | S | S |
- Оценим пригодность выбранных функций для описания тренда.
Для этого вычислим расчетное значение F-критерия по формуле
 |
Где p-число параметров уравнения тренда (для линейного и гиперболического уравнения p=2)
Вычисленное значение Fрасч. необходимо сравнить с табличным значением Fтабл.(a, k1, k2) при выбранном уровне значимости a и числе степеней свободы k1=p-1, k2=n-p
Если выполняется неравенство
 |
То уравнение подходит для описания тенденции.
Вычисления по п.5 необходимо выполнить для уравнений как линейной, так и гиперболической функций.
|
|
|
6. Выбор прогностической функции
Для выбора прогностической функции из линейной и гиперболической необходимо рассчитать для каждой из функций значение среднеквадратического отклонения.
В качестве тренда выбирается та из функций, для которой среднеквадратическое отклонение минимально.
7.Прогнозирование значений исследуемого признака
7.1. Рассчитаем значения исследуемого признака на основе выбранной в п.6 прогностической функции, подставляя вместо значения t значения (n+1), (n+2), (n+3), (n+4). Пример расчетов для линейной функции представлен ниже.
7.2.Рассчитаем доверительный интервал
D - ошибка прогноза.
D =t(a)*Sy*KL
где
 |
t(a)-табличное значение t-критерия Стьюдента при заданном уровне значимости 1-a и числе степеней свободы k=n-p. Табличные значения представлены в приложении 2.
Sy – вычисляется по формуле, представленной в п.6
Результаты расчетов необходимо представить в таблице по форме 5
Таблица 5
Прогноз исследуемой величины на основе анализа временного ряда
| Время упреждения L | KL | Доверительный интервал D | Нижняя граница прогноза | Среднее значение прогноза | Верхнее значение прогноза |
7.3 Построим график на основе данных табл.5
7.4. При наличии фактических значений исследуемого признака на периоде упреждения необходимо выяснить, входят ли они в доверительный интервал.
.
Приложение 1.
Таблица критических значений F-распределения (распределения Фишера-Снедекора)
Приложение 2.
Таблица критических значений распределения Стьюдента
|
|
|
