Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Моды поперечных колебаний непрерывной струны




Рассмотрим случай, когда N велико, тогда для двух первых мод между двумя соседними узлами окажется очень много грузов. Смещение будет медленно меняться от одного груза к другому, тогда можно считать, что все частицы в окрестности точки (x,y,z), соответствующей положению равновесия имеют один и тот же мгновенный вектор смещения . Координаты x,y,z представляют собой равновесное состояние частиц и не зависят от времени.

Пусть в состоянии равновесия струна растянута вдоль оси Х. Тогда координата х даёт положение равновесия каждого груза:

,

смещение вдоль оси Х -продольное, а вдоль осей Z и Y - поперечное. Для поперечных колебаний струны , поэтому:

.

Для простоты положим, что колебания происходят только вдоль оси Z (Ψy =0). В этом случае говорят, что колебания линейно поляризованы вдоль оси Z.

Попытаемся найти нормальные моды непрерывной струны, которые представляют собой стоячие волны. Предположим, что мы возбудили какую-то моду, и все части струны совершают гармоническое движение с одинаковой частотой ω и одинаковой фазовой постоянной φ. Тогда функция , представляющая собой смещение частиц, которые в равновесии находятся в х, должна иметь одну и ту же временную зависимость вида cos(ωt+φ) для всех движущихся элементов, то есть для всех х. Как обычно, фазовая постоянная соответствует моменту включения моды. «Геометрия» моды зависит от числа степеней свободы a, b, c …и т.д. и определяется отношением амплитуд колебаний А, В, С …и т.д., соответствующим этим степеням.

В случае непрерывной струны амплитуда колебаний для различных степеней свободы (то есть геометрия моды) может быть представлена в виде непрерывной функции от хА (х). Функция А (х) характеризует моду; каждой моде соответствует своя А (х), тогда общее выражение для стоячей волны имеет вид:

= А (х) cos(ωt+φ). (2.15)

Для ускорения получаем:

(2.16)

Вторая производная (2.15) по х равна

(2.17)

Здесь знак частной производной ∂ заменен знаком полной производной d, так как А не зависит от времени.

Подставим (2.16) и (2.17) в общее уравнение волны и заменим y на :

тогда имеем: Сократив на cos(ωt+φ) и на , получаем , или

.

Это уравнение определяет геометрическую форму моды. Здесь – волновое число, поэтому тогда

(2.18)

-каждой моде (то есть частоте ω) соответствует своя форма.

Уравнение (2.18) совпадает с уравнением гармонического осциллятора, в котором время заменено координатой. Решение этого уравнения имеет вид:

Тогда

(2.19)

Дополним выражение (2.19) граничными условиями. Струна закреплена на концах, то есть при x= 0 и x=L :

отсюда В =0 и

, тогда , и Получаем условие образования стоячих волн в струне – по длине струны укладывается целое число полуволн. Из него имеем:

-это длины волн всех возможных мод, возникающих в струне.

Для частот имеем:

Частоты и т.д. называются второй, третьей и т.д. гармониками основной частоты , соответствующих первой моде колебаний.

Важно помнить, что для всех гармоник (для всех мод) выполняется соотношение , где – фазовая скорость волны. Заменив , получаем – это уравнение определяет ω как функцию волнового числа и называется дисперсионным соотношением или законом дисперсии. При этом в общем случае не остается постоянной.

Волны, удовлетворяющие простому дисперсному соотношению ω/k=const, называют недиспергирующими волнами.

Если отношение ω/k зависит от длины волны, а значит и от частоты, то волны называют диспергирующими. График зависимости ω от в случае упругой струны представляет собой прямую линию, выходящую из начала координат.

Эффект Доплера

Рассмотрим волну, распространяющуюся в упругой среде. На некотором расстоянии от источника волны располагается устройство, воспринимающее колебания (приемник). Если источник и приемник неподвижны относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний, воспринимаемых источником, будет равна частоте колебаний источника. Если же источник или приемник (либо оба) движутся относительно среды, то частота , воспринимаемая приемником, отличается от . Это явление называется эффектом Доплера.

Будем считать, что приемник и источник движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость источника будем считать положительной, если источник движется по направлению к приемнику, и отрицательной, если источник удаляется от приемника. Аналогично скорость приемника будем считать положительной, если приемник приближается к источнику, и отрицательной, если удаляется от него.

Если источник неподвижен и колеблется с частотой , то к моменту, когда источник будет завершать -е колебание, порожденный первым колебанием гребень волны успеет пройти в среде путь ( - скорость распространения волны относительно среды). Следовательно, порожденные волной за секунду гребней и впадин волны уложатся по длине . Если же источник движется относительно среды со скоростью , то в момент, когда источник будет завершать -е колебание, гребень, порожденный первым колебанием, будет находиться от источника на расстоянии (рис. 2.7). Следовательно, гребней и впадин волны уложатся на длине , так что длина волны будет равна

.

Мимо неподвижного источника пройдут за секунду гребни и впадины, укладывающиеся по длине . Если приемник движется со скоростью , то в конце секундного промежутка времени он будет воспринимать впадину, которая в начале этого промежутка отстояла от его теперешнего положения на . Таким образом, приемник воспринимает за секунду колебания, отвечающие гребням и впадинам, укладывающимся на длине (рис.2.8) и будет колебаться с частотой

.

Подставив из полученного ранее выражения, получаем

.

Если расстояние между источником и приемником сокращается, воспринимаемая приемником частота оказывается больше частоты источника . Если расстояние между источником и приемником растет, воспринимаемая частота будет меньше .

 

Лекция 8

2 .10. Электромагнитные волны

2.10.1. Волновые уравнения для электромагнитного поля. Плоские и сферические электромагнитные волны. Волновой вектор. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Основные свойства электромагнитных волн

Итак, переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает электрическое и т.д. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем заряды пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс является периодическим в пространстве и во времени и представляет собой волну. Найдём уравнение этой волны.

В случае однородной нейтральной непроводящей среды с постоянными проницаемостями ε и μ имеем:

 

Поэтому уравнения Максвелла можно записать в виде:

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.20):

Изменим порядок дифференцирования по координатам () и времени (dt), получим:

Подставив выражение (2.22), получим Известно, что Однако , поэтому Тогда: или

(2.24)

Взяв ротор от обеих частей уравнения (2.22) и произведя аналогичные преобразования, получим:

(2.25)

(2.24)и (2.25)– это типичные волновые уравнения. Они описывают электромагнитную волну, фазовая скорость которой В вакууме μ =1, ε =1, и

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями ε и μ (ρ =0, , ε =const, μ =const). Направим ось Х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда и не будут зависеть от координаты х, а будут зависеть только от координат y и z. Поэтому уравнения Максвелла (2.20) - (2.25) можно упростить и представить в виде:

Уравнения (2.29) и (2.28) показывают, что Еx не зависит ни от х, ни от t. Уравнения (2.27) и (2.26) дают такой же результат для Нх. Следовательно, отличные от нуля Ех и Нх могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси Х. Отсюда следует, что векторы и перпендикулярны к направлению распространения волны, то есть электромагнитные волны поперечны.

Два последних уравнения (2.26) и (2.28) можно объединить в две независимые группы:

Первая группа уравнений связывает компоненты Ey и Hz, вторая – компоненты EHy. Допустим, что первоначально было создано переменное электрическое поле Еу, направленное вдоль оси У. Согласно второму из уравнений (2.30) это поле создаёт магнитное поле Нz, направленное вдоль оси Z. В соответствии с первым уравнением (2.30) поле Нz создаёт электрическое поле Еу, и т.д. Ни поле Еz, ни поле Ну при этом не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле Еz, то согласно уравнениям (2.31) появится поле Ну, которое возбудит поле Еz, и т.д. В этом случае не возникают поля Еу и Нz. Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (2.30) или (2.31), положив компоненты, фигурирующие в другой системе, равными нулю.

Возьмём для описания волны уравнение (2.30), положив , =0. Продифференцируем первое уравнение по х и произведём замену:

Подставим ∂ Hz/∂x из второго уравнения, получим волновые уравнения для Еу:

(2.32)

Здесь заменили

Продифференцируем по х второе уравнение из (2.30), найдём после аналогичных преобразований волновое уравнение для Hz:

(2.33)

Полученные уравнения представляют собой частные случаи уравнений (2.23) и (2.24). Так как Ex=Ez =0 и Hx=Hy =0, то Ey=E; Hz=H. Индексы у и z при E и H мы сохранили, чтобы подчеркнуть, что и перпендикулярны.

Простейшим решением уравнений (2.32) и (2.33) является:

, (2.34)

, (2.35)

где ω – частота волн, – волновое число, – начальные фазы колебаний в точке х =0.

Подставим (2.34) и (2.35) в (2.30):

.

Для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы , кроме того, должны выполняться соотношения:

Перемножим два последних равенства: , или .

Таким образом, колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одной фазе , а амплитуды этих векторов связаны соотношением:

Для волны, распространяющейся в вакууме Ом.

В векторной форме (2.34) и (2.35) примут вид :

Векторы и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...