Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Числовая последовательность и ее предел.




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ)

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Понятие множества. Некоторые сведения о математической логике.

Числовые множества. Множество действительных чисел.

Числовые промежутки.

Модуль действительного числа.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Понятие функции и способы ее задания.

Основные характеристики функций.

Элементарные функции.

Приложение функций в экономике.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

Числовая последовательность и ее предел.

Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. Начальные сведения о пределах встречаются еще в школьном курсе. Например, в алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечной убывающей прогрессии, в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности, площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел вращения.

В курсе математического анализа с помощью предела вводятся понятия производной, определенного интеграла.

Ознакомимся с понятием числовой последовательности и ее предела.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn} (1.1)

 

Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Примеры.

10) {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; …

20) {xn} = { } или {xn} = 1; ; ; ; …

30) {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

40) {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; -1; 0; …

50) {xn} = {6} или {xn} = 6; 6; 6; 6; …


Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0.

Замечание. Если переменная xn принимает значения x1, х2, …, хn,…, то говорят, что эта переменная «пробегает» числовую последовательность {xn}. Такую переменную называют «упорядоченной». Часто упорядоченную переменную отождествляют с числовой последовательностью, которую она «пробегает» и обозначают xn. Переменная xn не является непрерывной, она – дискретная.

Заметим, что n (номер) можно увеличивать неограниченно, пишут n→∞ и последовательность (1.1) является бесконечной числовой последовательностью.

 

Вернемся к рассмотренному примеру 10): {xn} = {3n} или {xn} = 3; 6; 9; 12; … На данном примере можно заметить, что при n→∞ переменная величина xn тоже неограниченно возрастает. Такие величины называют бесконечно большими.

Определение. Переменная величина xn называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) М>0 можно найти такой номер n=N, начиная с которого все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству:

|xn| ³ M

Рассматривая пример 20), можно заметить, что величина xn = → 0 при n → ∞. Такие величины называются бесконечно малыми.

 

Рассмотрим еще один пример: {xn} = { } или {xn} = 0; ; ;

 


По мере возрастания номера n члены числовой последовательности приближаются к числу 1. Говорят, что 1 – предел этой числовой последовательности. Точно так же в примере 20) 0 – предел этой последовательности. Кратко это записывается так .

Определение. Окрестностью точки а называется любой интервал (α, β), содержащий точку а. В частности, симметричный интервал (а - ε; а + ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью точки а.

 
 


Замечание. х (а - ε; а + ε)

В общем случае, если последовательность {xn}имеет своим пределом число а, то это записывают так .

Геометрически это означает, что начиная с некоторого номера n=N,N+1,N+2, … все члены последовательности попадают в ε-окрестность точки а. (ε – достаточно малое положительное число) или

 

Последовательности 30),40) не имеют предела (расходятся). Последовательность, которая имеет предел – сходится.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается:

В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходится к а при n®¥.

 

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

 

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

 

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

 

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу, т.е xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

Замечание. Говорят, что непрерывная переменная ха, если эту переменную можно представить как бесконечное число числовых последовательностей, каждая из которых имеет пределом число а.

 

 
 


 

Переменная х стремится к а слева (справа), если все члены последовательностей, имеющих пределом число а,

ха -0

ха +0

 

Переменная х → + , если для любого сколь угодно большого М>0 найдется х, начиная с которого все следующие значения х будут больше М: х > М и х → - , если для любого сколь угодно большого М>0 найдется х, начиная с которого все следующие значения х будут меньше - М: х <- М. В этих случаях переменная х называется бесконечно большой.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...