 |
Вычисление определённого интеграла.
|
|
|
|
5.1. Формула Ньютона – Лейбница.
.
Например,
5.2. Интегрирование подстановкой. Замена переменной.
Теорема. Если:
1) 
и её первообразная 
непрерывны на отрезке 
.
2)множество значений функции при 
является множество, заполняющее отрезок от [ а;в ].
3) и при этом 
,
то 
(*) - формула замены переменной.
Доказательство: Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на отрезке [ а;в ].
Тога по формуле Ньютона- Лейбница 
(1).
Покажем, что (1) равна (*).
Тогда 
является первообразной для функции (1) на отрезке .
Тогда по формуле Ньютона – Лейбница 
Отметим некоторые особенности этой формулы:
1) при вычислении определённого интеграла по формуле (1) возвращаться к старой переменной не надо.
2) часто вместо подстановки применяют подстановку 
.
3) обязательно надо менять пределы интегрирования при замене переменной.
Примеры:
1) 
5.3. Интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема: Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [ а;в ], то имеет место
(2).
Доказательство: для всех 
: любые (uv)’=u’v+uv’=>uv являются первообразной для u’v+uv’;тогда при любых справедливо равенство:
Примеры:
Геометрическое применение определённого интеграла.
6.1. Вычисление площадей плоских фигур.
Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (f(x)≥0), равна определенному интегралу:
(1)
S-?: y= 
; y=0; x=0;x=1.
Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (f(x)<0),то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, взятому с противоположным знаком («-»).
(2)
Пример: у= 
; у=0; х=-1; х=-2.
х=-2 х=-1 у
S= 
х
Формулы 1 и 2 можно объединить: S= 
(3)
|
|
|
Площадь фигуры ограниченной кривыми 
и 
, прямыми х=а и х=в при условии, что 
для всех , находятся по формуле 
(4)
у
 |
| |||
а в х
Пример: Найти S трапеции, ограниченной 
; 
.
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу её можно разбить на части, так, чтобы можно было применить уже известные формулы.
;
Пример: Вычислить S фигуры, ограниченной осью Ох, 
и у=sin x; y=cos x.
sin x=cos x*cos x
tg x=1
x= 
; n 
Аналогично если криволинейная трапеция ограничена прямыми у=с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х=φ(у) 
0
Пример: Найти S фигуры, ограниченной кривой 
; у=8 и осью Оу.
6.2. Вычисление объёма тела вращения.
1)Пусть криволинейная трапеция аАВв, ограниченная графиком неопределённой функции y=f(x) 0, прямыми х=а; х=в и отрезком оси абсцисс, вращающейся вокруг оси Ох.
Эта трапеция опишет тело, которое называется телом вращения. Найдем его объём(V).
Разделим отрезок 
на части точками 
. Через точки деления проведём плоскости, перпендикулярные оси Ох, в результате получаются поперечные сечения, которые представляют собой окружности радиуса 
. В результате такого деления всё тело разделяется на
i -го тела с высотой 
Тогда, объём всего тела 
.
2) Внутри каждого частичного отрезка 
возьмём точку 
и проведём через неё поперечное сечение. Заменим каждый i -тый слой с объёмом 
с высотой и основанием, полученным в результате сечения через точку (
).
3) Составим сумму объёмов элементарных цилиндров 
(1)
Сумма (1) есть интегральная сумма 
на отрезке . Эта сумма ≈ объёму тела V.
4) Выберем шаг деления 
- наибольшее из d 
, при 
.
5) За объём тела вращения примем lim интегральной суммы (1) при 
, т.е. 
(2)=
Если предел (2) существует и конечен, а f(x)- непрерывная функция, то предел (2) существует и равен определённому интегралу функции 
на .
|
|
|
|
Замечание: Если криволинейная трапеция cCDd ограничена графиком напрерывной функции 
; прямыми у=с, у=d и отрезком оси ординат, вращающимся вокруг оси Оу, этот объём тела вращения равен 
(4)
Примеры:
1)Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 
; у=0, х=2
|
2) Найти объём тело, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной ; х=0; у=4.
.
|
|
|
