Качество оценок параметров эконометрических моделей

Эконометрическая модель считается построенной, когда определены значения оценок ее параметров. Исходными данными при этом являются наблюдаемые значения (измеренные уровни) зависимого показателя (переменной) у_t и независимых факторов х_it, t =1,2,..., Т; i =1,2,..., п. Таким образом, найденные количественные характеристики a ₀, a ₁,..., a_n можно рассматривать как оценки истинных значений параметров модели a ₀, a ₁,..., a_n, в общем случае зависящие от исходных данных и применяемого метода оценивания.

Эти оценки являются случайными величинами. Их случайный характер можно интерпретировать следующим образом. Значения построенного функционала f (a, x _t) = , определенные при известном наборе оценок a ₀, a ₁,..., a_n, можно рассматривать как оценки, аппроксимирующие наблюдаемые значения зависимой переменной у_t. Качество этой аппроксимации, а, следовательно, и качество параметров a ₀, a ₁,..., a_n увязывается со свойствами и характеристиками случайной ошибки e_t = у_t – . Таким образом, каждой выборочной последовательности ошибки e_t, t =1,2,..., Т ставится в соответствие свой набор параметров и наоборот. Это и позволяет говорить о каждом из таких наборов как о выборке из некоторого множества наборов оценок параметров a ₀, a ₁,..., a_n, соответствующей определенному методу оценивания.

Истинным значениям параметров a ₀, a ₁,..., a_п должен соответствовать и истинный ряд ошибки модели e_t, определенный как

e_t = у_t – f (a, x _t). (2)

Поскольку вектор истинных значений параметров a = (a ₀, a ₁,..., a_п) неизвестен, то рассчитать значения e_t, t =1,2,..., Т на основании выражения (2) на практике не представляется возможным. Однако при известных оценках коэффициентов a ₀, a ₁,..., a_n можно определить оценку ошибки e, в качестве которой в данном случае выступают значения фактической ошибки e_t = у_t – f (a, x _t), t =1,2,..., Т, полученные из выражения (2) при подстановке в функционал f оценок параметров. Ряд ошибки e_t при этом также рассматривается как выборочная ошибка.

Полученную любым методом оценку a_i коэффициента эконометрической модели a_i можно рассматривать как выборочную случайную величину, представленную в виде суммы ее истинного значения a_i и случайной ошибки D a_i , i =0,1,..., п.

a_i = a_i + D a_i (3)

Из выражения (3) непосредственно вытекает, что о качестве оценки a_i в этом случае можно судить по свойствам ее ошибки D a_i.

При этом, хотя истинное значение a_i неизвестно, однако некоторые характеристики ошибки D a_i и ее свойства обычно удается определить в процессе получения оценки a_i .

В такой ситуации хорошее качество оценок параметров модели, полученных с использованием того или иного метода (о котором можно судить на основании характеристик качества их ошибок), является одним из важнейших условий построения удачной эконометрической модели. Напомним, что другим таким условием является правильное отображение основных закономерностей рассматриваемых процессов с учетом взаимосвязей между ними.

Теория статистического оценивания качество оценок определяет по свойствам несмещенности, эффективности, асимптотической несмещенности и асимптотической эффективности, состоятельности и некоторым другим.

Оценка является несмещенной, если истинное значение параметра можно рассматривать как ее математическое ожидание или, иначе, математическое ожидание ошибки оценки D a_i должно быть равно нулю:

M [ a_i ]= a_i, M [D a_i ]=0 (4)

Оценка рассматривается как эффективная, если она характеризуется наименьшей дисперсией (дисперсия ошибки оценки минимальна) среди всех других аналогичных оценок, полученных различными методами, способами.

Часто свойство несмещенности выполняется лишь с некоторой степенью приблизительности при достаточно больших объемах выборочных данных (при большом числе измерений Т), в пределе при Т ®¥. В этом случае говорят, что оценки являются асимптотически несмещенными. Иногда асимптотическая несмещенность рассматривается в вероятностном смысле, т. е. предполагается, что для произвольно малых положительных чисел x и h, в общем случае зависящих от Т,существует такой объем исходных данных Т ₀, что для всех Т > Т ₀ имеет место следующее неравенство:

(5)

Оценки, обладающие таким свойством, называют состоятельными.

Кроме того, асимптотические свойства могут рассматриваться как преимущество при прочих равных условиях, в том смысле, что из двух оценок более предпочтительной является та из них, которая получена на основе большей по объему выборки (если по эффективности эти оценки не различимы).

Важнейшими характеристиками, которые учитываются при изучении свойств асимптотической несмещенности и состоятельности, являются асимптотическое математическое ожидание и асимптотическая дисперсия.

Достаточным условием состоятельности оценки параметра модели является стремление к нулю величины математического ожидания и дисперсии ее ошибки (смещения) при возрастании объема выборки. Это условие следует из неравенства Чебышева.

Различные методы определения значений параметров эконометрических моделей могут приводить к их оценкам, различающимся по своим количественным характеристикам. При этом ухудшение свойств оценки иногда обусловливается тем, что исходные предпосылки применения того или иного метода не соответствуют свойствам рассматриваемого процесса.

Часто необоснованность предпосылок обусловлена тем обстоятельством, что в ходе анализа построенной модели не принимается во внимание содержательная интерпретация используемых данных. В связи с этим заметим, что обычно предположение о детерминированном характере независимых переменных х_i, позволяет говорить о свойствах несмещенности и эффективности оценок параметров эконометрических моделей на конечных выборках (т. е. рассматривать проблемы наличия или отсутствия этих свойств у найденных оценок).

В том случае, если независимые переменные имеют случайный характер или при получении оценок параметров модели использовались так называемые инструментальные переменные – их заменители, то свойства полученных оценок уже имеют асимптотический характер. Иными словами, несмещенность и эффективность (если они имеют место) проявляются только на больших выборках.

В этой связи наиболее популярными методами оценки параметров линейных эконометрических моделей являются метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов. Их популярность объясняется относительной простотой вычислений и высоким качеством получаемых оценок в смысле выполнения требований относительно их несмещенности, эффективности и состоятельности.