Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

IV.1. Однократные итерационные циклы




1. (Факториал.) Вычислить т = n!

2. (Одна замечательная формула.) Для заданного n вы­числить Sn = 13+23+ … + n 3 и Tn = 1+2+ … + n и установить, имеет ли место равенство Sn = Tn 2. (Тождество Sn = Tn 2 нетрудно доказать по индукции, однако здесь программируй­те!)

3. (Приближенное вычисление определенных интегралов.) Вычислить приближенное значение In определенного интеграла по одной из квадратурных формул с числом шагов интегрирова­ния, равным n. В приводимых ниже формулах , xi = a + ih, yi = f (xi).

Формула прямоугольников: In = h [ y 0 + y 1 + … + yn –1].

Формула трапеций: In = h [(y 0 + yn)/2 + y 1 + y 2 + … + yn –1].

Формула Симпсона (n четно):

.

Варианты задания (везде n = 100):

a) , ;

б) , ;

в) , .

Вычислить погрешность | IIn | использованной приб­лиженной формулы, учитывая, что истинные значения соответ­ствующих интегралов равны соответственно

a) 1.35011...; б) ;в) .

4. (Гармонический ряд. Константа Эйлера-Маскерони.)

а) Вычислить сумму n первых членов гармонического ряда:

б) Для заданного t > 1.0 вычислить n, при котором Hn > t ³ Hn 1.

в) Известно, что , где 0 < en £ , а g – некоторая константа, назы­ваемая константой Эйлера-Маскерони. Вычислить значение константы g с заданной точностью e. (Известно, что

g = 0.5772156649015328606065120900824024310422...).

5. (Знакопеременный ряд Грегори.)

а) Вычислить сумму n первых членов ряда Грегори

четырьмя способами: сложить члены (1) слева направо и (2) справа налево; сложить сначала отдельно положительные, а затем отрицательные члены (3) слева направо и (4) справа налево. Полученные результаты напечатать и объяснить расхож­дение в результатах (если оно имеется).

б) Если вычислять Sn способом (1), то , ког­да n ® ¥. Для заданного e = 0.0001 найти наименьшее n такое, что . (Считать, что p = 3.1415926.)

6. (Постоянная Каталана.) Вычислить приближенное зна­чение постоянной Каталана – следующей знакопеременной суммы:

,

"обрывая" суммирование:

а) на n -ом члене;

б) как только очередной член ряда становится по абсолютной величине £ e.

7. (Произведение Валлиса.) Положим

.

Для заданного e > 0 вычислить первое n, при котором . (Известно, что при n ® ¥.)Считать, что p = 3.1415926.

8. (Ряд Гаусса.) Положим

,

где 0 < p < q – целые числа. Известно, что

.

Вычислить En = | Sn (p, q) – S (p, q)| для заданных n, p, q.

9. (Некоторые интересные суммы.) Вычислить суммы

а) ; в) ;
б) ; г) .

(Рядом с суммами указаны их значения при n = ¥.)

10. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить:

а) ; в) ;
б) ; г) ,

где (2 m)!!=2·4· …· (2 m) и (2 m +1)!!=1·3·5·…· (2 m +1).

Указание. Здесь можно использовать схему Горнера.

Например,

11. (Вычисление конечных сумм и произведений.) Вычислить:

а) ; в) ;
б) ; г) .

12. (Некоторые хорошо известные разложения функций в ряд.) Вычислить приближенные значения функций, используяихразложения в ряд и суммируя члены от первого до (исключи­тельно) члена (с наименьшим номером), не превосходящего по абсолютной величине e:

а) ; в) , |x|< 1;
б) ; г) .

13. (Число p = 3.1415926535897932384626433832795...) Вычислить приближенное значениечисла p по формуле: , где , |x| <1. При вычислении бесконечной суммы учесть только те слагае­мые, которые по абсолютной величине ³ e = 0.0001.

14. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить суммы, суммируя по тем k = 1,2,..., для которых tk ³ e:

а) , ; б) , .

15. (Попадание в интервал.) Целые числа l, k, n, a 1, …, an определяются вводом и последовательно обрабатываются програм­мой. Вычислить, сколько введено чисел ai, которые:

а) принадлежат интервалу (l, k ];

б) кратны l и при делении на k дают в остатке 1, 2 или 3.

Другой вариант задания. Определить числа ai явно, например: ai = i 3+7 i 2-15 i +3, i =1,2,…, n.

16. (Минимум, максимум и сумма одновременно.) Последо­вательность вещественных чисел x 1, x 2, … определяется вводом. Вычислить минимум, максимум и сумму чисел этой по­следовательности. Считать, что x 1 ¹ 0, а последним элемен­том последовательности является первое число xn, равное нулю. При этом число xn в вычислении минимума и максимума не участвует.

Другой вариант задания. Числа xi задать явно, например, xi = e cos ix – sin ix, i = 1,2,…, n.

17. (Число перемен знака в последовательности.) Вычислить Vn – число перемен знака в последовательности 1, cos 1, cos 2, …, cos(n –1), cos n. (Интересно отметить, что n / Vn ® p при n ® ¥.)

18. (Ближайшее к целому.) Среди чисел , k =1, 2, …, 40, найти ближайшее к какому-нибудь целому. Здесь a, b > 0 – заданные вещественные числа.

19. (Найти рекуррентность.) Для заданных натурального n и вещественных a ³ 0 и b ³ 1 вычислить:

a) (n корней);

б) (n логарифмов).

(Отметим, что xn ® x, где – корень уравнения ; , где y – наибольший корень уравнения , при n ® ¥.)

20. (Линейные рекуррентные последовательности.) Вычис­лить значения п -ых членов последовательностей { x 0, x 1, …} и { y 0, y 1, …},определяемых рекуррентно:

а) x 0 = a; xk = bxk –1+ c, k = 1, 2,…;

б) x 0 = a; x 1 = b; xk=cxk –1+ dxk -2, k = 2, 3, …;

в) x 0 = x 1 = x 2 = a; xk = bxk –1+ cxk -3, k = 3, 4, …;

г) x 0 = y 0 = a, xk = bxk –1+ cyk –1, yk = dxk –1+ eyk –1, k = 1, 2,…;

д) x 0 = y 0 = a, x 1 = y 1 = bx 2 = y 2 = c; xk = dxk –1+ eyk –2+ fxk –3, yk = gxk –1+ hyk –2, k = 3, 4,…

21. (Длина кривой.) Вычислить длину кривой y = f (x) между точками A и B, выбирая в качестве её приближенного значения длину ломаной A A 1 A 2An –1 B (см. рис. 4).

Указание. Длина отрезка Аi Ai +1 равна , где h = (ba)/ n, xi = a + ih, i = 0,1,…, n. Исходные данные (f (x), a, b, n) подобрать самостоятельно.

22. (Поиск итерационной схемы.) Для заданных x, a ¹ 0 и n ³ 0 вычислить:

a) ; б) ; в) ; г) (s – целое).

Указания. а) Здесь y 0 = 1; yk = bkyk –1 (k ³ 1), где b 0 = 1/ ax; bk = bk –1 x 2 (k ³ 1). б) , , . в) Тропинка уже проложена. г) Здесь можно поступить так: сначала вычислить m = ns, а затем вычислить yn = xm, используя степенной алгоритм (см. задачу 1.9).

23. (Вычисление конечных сумм.) Вычислить суммы:

а) ; б) ,

суммируя по тем k = 0,1,..., для которых a £ vk £ b (0 < a < b).Последовательность v 0, v 1, … определена рекуррентно: v 0 = v 1 = a; vk = vk –1+ vk -2 для k = 2,3,…

24. (Суммирование рядов.) Просуммировать ряды:

а) ; б)

Суммирование по n продолжать до тех пор, пока n £ m или | an | ³ e, где m ³ 1 и e > 0 – заданные (нату­ральное и вещественное) числа, а ann -ый член ряда.

Указание. Для вычисления bk = cos kx и ck = sin kx используйте следующие формулы: b 0 = 1, c 0 = 0, b 1 = cos x, c 1 = sin x; bk = bk –1 b 1ck –1 c 1, ck = ck –1 b 1 + c 1 bk –1, k = 2,3,…

(Теоретические ответы: а) ; б) .)

25. (Приближенное вычисление кубического корня.) Вычислить значение , используя итерационную формулу:

, n = 0,1,…,

где y 0 = x /3, если х ³ 1; y 0 = x, если х < 1. В качестве у взять yn +1 с наименьшим n, для которого | yn +1yn | £ e, где e > 0 – заданное число. (Известно, что , когда n ®¥.)

26. (Как вычислить log2 x?) Вычислить у = log2 x (x > 0) с заданной точностью e.

Указание. Так как log2 x = –log2 (1/ x) и log2 x = m +log2 (x /2 m), то все сводится к умению вычис­лять у = log2 x при 1 £ x < 2. В этом случае x = 2 y, где 0 £ y < 1, или для некоторых d 1, d 2, … Î {0,1}. Если обозначить yn = b 1+ b 2 +…+ bn, где bi = di / 2 i, то | yyn | £ bn. Поэтому, если n таково, что bn £ e, то yn £ log2 x £ yn + e. Вычисление yn и bn можно провести по итерационной схеме: a 0 = x, b 0 = 1, y 0 = 0; , bk = b ( k –1)/2; yk = yk –1 или yk -1 + bk -1 соответственно при и ; k = 1, 2, …

27. (Приближенное вычисление 1/ x при 0 < x < 2.) Последовательности { ak } и { bk } заданы рекуррентно:

a 0 = 1, b 0 = 1– x; ak = ak -1(1+ bk –1), bk = (bk –1)2, k = 1,2,...

Вычислить an для наименьшего п, при котором bn £ e (e >0). (Для такого n имеем | an 1/ x | £ e / x.)

28. (Приближенное вычисление при 0< x <2.) Последовательности { ak } и { bk } заданы рекуррентно:

a 0 = x, b 0 = 1– x; ak = ak –1(1+ bk –1/2), , k = 1,2,…

Вычислить an для наименьшего n, при котором bn £ e (e > 0). (Для такого n имеем .)

29. (Если последовательность имеет предел, то для любо­го заданного e > 0 найдется n такое, что...) Последовате­льность { x 0, x 1,…} определяется рекуррентно. Найти наименьшее n, при котором | xn‑xn ‑1| £ e.

а) ; б) ; k =1,2,…; x 0 = 0.

Замечания. При n ® ¥ a) , б) , где x – корень уравнения x= cos x.

30. (Метод Ньютона, или метод касательных.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 по методу Ньютона.

Суть метода. Последовательное приближение к искомому решению x=x из заданного промежутка (a, b) осуществля­ется по итерационной формуле

xn = xn –1f (xn –1) / (xn –1), n = 1,2,…

В качестве начального приближения x 0 выбирается значение z того конца промежутка (а, b), для которого f (z) f¢¢ (z) > 0.Полагают x = xn,для первого n, при котором

| xn–xn –1| º | f (xn –1)/ (xn –1)| £ e.

(Здесь e > 0 – некоторое заданное число, так называемая точность вычисления.) Процесс после­довательного приближения к искомому решению иллюстрируется на рис. 5.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

а) f (x) = x 5 –x –0.002, (a, b)=(1.0, 1.1);

б) , (a, b)=(p, 2 p).

31. (Метод половинного деления.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 с абсолютной точностью e методом половинного деления.

Суть метода. Предположим, что нам известен интервал (a, b) такой, что x Î (a, b) и f (a) f (b) < 0. Рассмотрим точку c = (a+b)/2 середину этого интервала. Если f (c) = 0, то полагаем x=c (корень найден); если же f (c) ¹ 0, то указанную процедуру повторим для того из интервалов (а, с) или (с, b), на концах которого функция f (x) меняет знак. Этот процесс повторяется до тех пор, пока длина последнего из рассматриваемых интервалов не станет £ 2 e. Его середину берем в качестве приближенного значения x. Процесс стягивания интервалов к искомому решению иллю­стрируется на рис. 6.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

a) , ;

б) , (a, b) = (0,1);

в) ,(a, b) = (–3,–2), (–1,0), (0,1).

32. (Метод простых итераций.) Найти приближенное значение x корня уравнения x = f (x) методом простых итераций.

Суть метода. В процессе построения элементов числовой последовательности { x 0, x 1,…}, определяемой рекуррентно:

xn +1 = f (xn), n = 0,1,…; x 0 = a,

находят первое n, при котором | xn–xn –1| £ e и полагают x = xn. Здесь e > 0 и a – заданные значения, так назы­ваемые точность вычисления и начальное приближение. Процесс последовательного приближения к искомому решению иллюстри­руется на рис. 7.

Варианты задания (везде e = 0.0001):

а) f (x) = –ln(x +3), a =0;

б) f (x) = 1+9 sin(x)/2, a – любое;

в) f (x) = x 5–0.2, a = –1.0, 0.0 и 1.0.

33. (Requla false.–Метод ложного положения, или ме­тод секущих.) Найти приближенное значение x корня уравнения f (x) = 0 по методу секущих.

Суть метода. Выбирают два начальных приближения x 0 и x 1 так, чтобы f (x 0) f (x 1) < 0, и строят последовательные приближения

, n =1,2,…

В качестве z каждый раз выбирают xkk < n) так, чтобы f (xn) f (z) < 0 (это обеспечивает локализацию x между xn и z). Наконец, в качестве значения x берут xn для пер­вого n, при котором | xn +1xn | £ e. Процесс последовате­льного приближения к искомому решению иллюстрируется на рис. 8.

Указание. Исходные данные взять из задачи 31.

 


Поделиться:





Читайте также:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...