Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Метод интегрирования по частям

Практическое занятие № 10

«Вычисление неопределенных интегралов»

1. Цель: Выработать навыки вычисления неопределённого интеграла методом непосредственного интегрирования, методом подстановки и методом интегрирования по частям.

2. Пояснения к работе:

Краткие теоретические сведения

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

(1)

Совокупность всех первообразных функций F (x) + c для функции f (x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается

, (2)

где называется подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, а С -произвольной постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.

Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1. +С; 2. +С;

3. +С; 4. +С;

5. +С; 6. +С; 7. +С; 8. +С; 9. +С; 10.

11. 12.

13. 14. +С; 15. +С; 16. +С;

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная

неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

, .

Метод непосредственного интегрирования

Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример. Вычислить: 1) ; 2)

Решение:

1) ;

Интегрирование способом подстановки

Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения заменяем переменную х новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получаем .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через u du, имеем

(3)

После того, как интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной х.

Пример. Вычислить 1) ; 2) 3) 4) ;

5) ;

Решение:

1) Положим 1+x = z. Продифференцируем это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: .

2)Сделав замену: , получим . Тогда

3)Положим

где ;

4) Пусть , тогда . Поэтому

5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:

Поэтому, имеем ;

Метод интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:

Так как по условию функции и непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства,

или

но

, следовательно

(4)

В правой части формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически

присутствует в интеграле . Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей и ; при этом обязательно входят в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

Пример. Вычислить 1) ; 2) ;

Решение:

1) положим , ; тогда , , т.е. . Используя формулу (4), получим .

2) ; положим u=lnx, dv=xdx; тогда ; .

Используя формулу (4), получим: .

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и . Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.

1. В интегралах вида , , ,

где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают , а все остальные сомножители за .

2. В интегралах вида , , , ,

полагают , а остальные сомножители за .

3. В интегралах вида , , где a и b числа, за можно принять любую из функций или sin bx (или cos bx).

Задание

Вариант 1

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) в)