Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Расчет конструкций методом перемещений

В качестве неизвестных принимаются перемещения узлов конструкции. Каждый узел в общем случае имеет три возможных перемещения: линейное перемещение по горизонтали; линейное перемещение по вертикали; угловое перемещение (угол поворота) жесткого соединения стержней в узле.

Общий подсчет неизвестных ведется по формуле:

где z – общее количество неизвестных перемещений; z_угл _. – угловые перемещения жестких узлов конструкций; z_лин _. – линейные независимые перемещения всех узлов конструкции.

Если z_угл _. всегда равно количеству жестких узлов конструкции (на рисунке 73а один жесткий узел 1), то z_лин _. равно степени свободы шарнирной схемы конструкции (рамы).

Для получения шарнирной схемы рамы вводятся шарниры во все жесткие узлы рамы, включая и жесткие заделки (опоры) (рис. 73б). Для полученной рамы подсчитываем степень свободы:

Результат еще не означает, что z_лин. = 0. Необходимо провести анализ полученной конструкции. Заметим, что шарниры 0, 1, 4 лежат на одной прямой, что означает – система мгновенно изменяемая, узел 2 при этом не ликвидирует этого дефекта. Нам необходимо поставить опорный стержень по горизонтали в узел 1 или в узел 2 и тогда:

Основная система метода перемещений - единственная. Она получается путем закрепления всех возможных перемещений узлов рамы (конструкции)

введением в жесткие узлы заделки (заделки препятствуют только повороту узла) и опорных стержней по возможным перемещениям узлов шарнирной схемы конструкции.

Для приведенной рамы (рис. 73) основная система показана на рис. 74. Общее число неизвестных будет равно 2 – по количеству введенных связей.

Для рамы (рис. 75) основная система приведена на рис.76. Здесь установлено три жесткие связи и две линейные в виде опорных стержней. И мы получили:

Количество введенных связей в конструкцию (раму) определяет и степень кинематической неопределимости рамы. В первом примере она равна 2, во втором – 5. В каждой введенной связи возникают реактивные усилия: в заделке - только момент (заделка не препятствует линейному смещению!), а в линейных связях - только реакция (усилие) по направлению этой связи.

Приведение основной системы к исходной производится условием:

т. е. реактивное усилие в i -ой связи равно нулю, т. к. в заданной системе этой связи нет.

по принципу независимости действия сил (воздействий) запишется:

Распишем это условие для первой приведенной конструкции (рис. 74):

Для второй конструкции (рис. 76) мы получим уже 5 уравнений по числу неизвестных перемещений. Вот одно из них (для третьей связи):

Здесь - реактивное усилие в i -ой связи от внешней нагрузки; - реактивное усилие в i -ой связи от перемещения к -ой связи.

Реакция с перемещением связана соотношением:

где - реактивное усилие в i -ой связи от перемещения к -ой связи на единицу; - истинное перемещение к -ой связи.

Подставляя последнее соотношение в условия , получаем систему канонических уравнений. Для первой конструкции (рис. 74) она запишется:

Рассчитаем раму, представленную на рисунке 77.

Число неизвестных:

(два жестких узла).

Линейные неизвестные определяются из шарнирной схемы рамы (рис. 78а):

Узлы 1, 2, 3 находятся на одной прямой и, если не установим недостающую связь в узел 2 по вертикали, получим мгновенно-изменяемую конструкцию. Поэтому установим в узел 2 по вертикали недостающую связь. Основная системе показана на рис. 78б (нумерация связей в кружочках) .

Система канонических уравнений запишется:

;

- реактивное усилие в первой связи от перемещения первой связи на единицу. Первая связь заделка. Значит она может поворачиваться. Даем ей поворот на . Произойдет деформация только тех стержней, которые составляют этот узел (рис. 78в). По деформированному состоянию строим

эпюры изгибающих моментов (рис. 78г), используя уже готовые решения (таблица 4). Вырезая узел со связью 1 (рис. 81), найдем . Направление считаем положительным, если оно направлено по направлению перемещения связи:

Перемещение связи 1 вызывает реакции во введенных связях 2 и 3. Вырезаем узел со второй связью (рис. 79б) и найдем :

Для получения величины в третьей связи проводим сквозное сечение. Оно пройдет по связи 3, по опоре 1, 6, далее по опоре 3 (рис.80). Реакции в опорах 1, 3 равны нулю, а реакция в опоре 6 равна (по табличным данным). Знак или направление будет зависеть от направления перемещения третьей связи. Не будем торопиться с этим.

Дадим перемещение второй связи – угол поворота узла 2 по часовой стрелке (рис. 81), т. е. перейдем к определению величины и производных от этого перемещения. Деформируются стержни, сходящиеся в узел 2 (рис.81). По табличным решениям строим эпюру М₂ (рис. 82а).

Вырезая узел со связью 2, из его равновесия найдем (рис.82б).

Вырезая узел 5 со связью 1, определим , но , а мы уже определили .

Читатель может еще раз проверить наши рассуждения. Мы не будем

торопиться с определением .

Даем перемещение третьей связи на единицу (рис. 83). Теперь самое время вернуться к определению (рис. 80). Возьмем перемещение третьей связи вверх (как направили на рис.80, но это совсем необязательно).Для деформированных стержней (рис.83) строим эпюры М, используя таблицу (рис. 81). Теперь проецируя на ось у усилия 0,375 и из рисунка 80, находим:

Проверим. Вырежем из М₃ узел 5 с первой связью (рис. 85а):

Видим полное совпадение

Вырезая узел 2 со второй связью, найдем и (рис. 85б):

Для определения проведем сечение по связи третьей и по опорам 1, 6, 3, получим (рис. 86):

Коэффициенты при вычислили.

Перейдем к определению . Для этого построим эпюру М_р (рис. 87) от внешнего загружения по табличным решениям.

Определяем . Вырезаем узел 5, рис. 88а:

Определяем . Вырезаем узел 2, рис. 88б:

Определяем (рис. 92):

откуда

Система канонических уравнений готова к решению:

;

Из решения системы получаем:

Для построения окончательных эпюр M, Q, N воспользуемся вторым путем, как при методе сил, а именно:

Процесс построения эпюры М_ок можно проследить по рисунку 90. Производим проверки правильности построения эпюры М_ок:

1. Статическая (вырезаются узлы 2 и 4 – рис. 91):

Грубоватый расчет.

2. Кинематическая.

Для кинематической проверки необходимо построить эпюру М₁ для точки, заведомо зная ее перемещение. Лучше всего построить М₁ метода сил. Самое простое: выберем основную систему метода сил, оставив опору 1(заделку). Приложим к точке 3 по вертикали единичную силу и построим эпюру М₁ (рис. 92):

Что составляет погрешность счета:

Не так уж и плохо!

Проверки дают нам основание построить Q_ок по М_ок уже разобранными нами приемами. Процесс построения эпюры Q_ок можно проследить по рисункам 93, 94, где рассмотрены отдельные балки, выделенные из рассчитываемой рамы (консоль не приводится – эпюра Q для нее строится обычным порядком).

В окончательном виде эпюра перерезывающих сил приведена на рисунке 96.

Эпюру N_ок строим по эпюре Q_ок.

Рассматриваем равновесие узла 5 (рис. 96), что позволяет определить продольные усилия в стержнях 5-6 и 5-2. Рассмотрим и равновесие узла 2 (рис. 97), из рассмотрения которого определяются усилия в стержнях 1-2 и

5-2. Следует отметить, что полученные значения продольного усилия в стержне 5-2 при рассмотрении узлов 5 и 2 имеют расхождения в 0,131 (кН). Это нужно отнести на ошибки в наших расчетах.

Окончательная эпюра продольных усилий показана на рисунке 98.

Рассмотрим еще пример.

Требуется для конструкции (рис. 99) определить внутренние усилия (построить эпюры M, Q, N).

Расчет произведем двумя методами:

методом перемещений и методом сил (для сравнения).

Расчет рамы методом перемещений

а) Основная система показана на рисунке 100. Одно угловое неизвестное и одно линейное.

б) Канонические уравнения:

Для вычисления и построим эпюры моментов от перемещений связей (рис. 101) и (рис. 102). Вырезая узел со связью 1 из М₁ и рассмотрев его равновесие, получим: