Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Ділення відрізка прямої в заданому відношенні

ТЕМА 2. МЕТОД ПРОЕКЦІЙ. ТОЧКА Й ПРЯМА

ЛЕКЦІЯ 2

План

1. Геометричні об’єкти

2. Методи проекціювання

2.1. Центральне проекціювання.

2.2. Паралельне проекціювання.

3. Точка. Побудова комплексного кресленика точки.

4. Пряма.

4.1. Комплексний кресленик прямої. Сліди прямої.

4.2. Положення точки і прямої.

4.3. Взаємне положення двох прямих.

4.4. Визначення натуральної довжини відрізка прямої та кутів нахилу його до площин проекцій.

Мета: Ознайомитись з теоретичними основами побудови зображень іпозиційних властивостей проекцій пар геометричних елементів. Розвиток у студентів (курсантів) просторової уяви.

1. Література: Варламова С.А. Інженерна та комп’ютерна графіка. Конспект лекцій. – Житомир: ЖВІ НАУ, 2009. – с.6 -30 §1

1. ГЕОМЕТРИЧНІ ОБ'ЄКТИ

Геометричний об’єкт є основною формою предметної області, окремі елементи якої мають як схожі, так і різні характерні ознаки, які дають інформацію про об’єкт.

Співставлення класифікаційних ознак і відповідно їх видів і кількості, надаючи інформацію про об’єкт, дозволяє розташувати геометричні об’єкти в ієрархічній послідовності. Цю класифікаційну послідовність від нижчого до більш високого рівня утворюють: точка, лінія, відрізок (частина лінії), контур, поверхня, відсік (частина) поверхні, оболонка, геометричне тіло (табл. 1).

Кожен з ієрархічних об’єктів утворюється з об’єктів попереднього рівня ієрархії. У разі переходу від нижчого до більш високого рівня ієрархії відбувається ускладнення об’єкта і нарощення кількості інформації.

Запропонована класифікація геометричних об’єктів і відповідна щодо них інформація забезпечує можливість використовувати способи і результати графічного відображення операцій з об’єктами нижчих рівнів як дані для відображення операцій з об’єктами більш високих рівнів ієрархії. У той же час, така класифікація є основою для опанування машинної графіки в якій об’єкт конструюють з базових графічних елементів (точка, лінія, відрізок, контур, поверхня, відсік поверхні, оболонка, геометричне тіло), які записуються користувачем і додаються один до одного, щоб отримати необхідний об’єкт.

Геометричний об’єкт	Характеристика
Точка	Простий неподільний елемент геометричного простору, який немає форми і розмірів. Інформацією про точку є три координати її положення в системі координат.
Лінія	Суцільний слід руху точки в просторі. Траєкторія руху точки може бути закономірною і незакономірною. Інформація про лінію включає дані, які характеризують її тип, склад, структуру, форму і розміри форми, положення і орієнтацію лінії у просторі.
Відрізок лінії	Обмежена частина лінії з обох кінців точками, які входять до складу і структури лінії, утримують дані про координати положення кінцевих точок.
Контур	Замкнена послідовність відрізків, з’єднаних своїми кінцевими точками. Інформація про контур складається з наступних даних: тип, склад, структура, форма і розміри форми, положення, орієнтація, розміри положення і орієнтації.
Поверхня	Слід руху твірної лінії по напрямній. Обидві лінії можуть мати сталі чи змінні форми та розміри, а також відносну орієнтацію. Інформація про поверхню охоплює дані, що відносяться до типу, складу, структури, форми і її розмірів, положення та орієнтації.

Таблиця 1

З усіх перерахованих об’єктів тільки геометричні тіла можуть бути реально матеріалізовані та виготовлені. Усі інші геометричні об’єкти від точки до оболонки можуть бути представлені тільки в уяві, а їх візуалізація і графічне відображення різним накресленням ліній і позначень, у тому числі і їх відносна видимість є умовним поняттям. Знання цих умовностей є необхідною умовою грамотного графічного відображення об’єктів, а також правильного сприйняття і розуміння повного обсягу інформації у процесі читання їх проекцій і зображень, що характеризує цей об’єкт.

Умовні позначення геометричних фігур та відношення між ними: Л 1 §1 ст. 6,7

2. МЕТОДИ ПРОЕКЦІЮВАННЯ

В основі правил побудови зображень, що розглядає нарисна геометрія і, які використовуються у технічному кресленні лежить метод проекціювання.

Отже, зображення просторового предмета на площині досягається відображенням його проекціюванням. За цим методом кожній точці тривимірного простору відповідає певна точка двовимірного простору (площини).

Основними вимогами до зображення є правильність кресленика, його наочність, вимірність, простота у побудові, повнота і метрична визначеність.

У нарисній геометрії предмети відображаються способами центрального і паралельного проекціювання. Отримані зображення, називаються проекційними.

Означення

Проекція - це зображення предмета, «відкинуте» на площину за допомогою променів.

Спроекціювати предмет - це означає зобразити його на площині.

За допомогою зображення можна вивчати не тільки зовнішні контури існуючого об’єкта, що припинив своє існування і уявного, але і такі його елементи, щоб розглянути їх довелось би повністю руйнувати даний об’єкт; порівнювати оригінали і т. ін.

Зображення, яке дозволяє визначити взаємозв’язок (взаємозалежність) елементів об’єкта, називають позиційним.

Зображення, за яким можна визначити розміри об’єкта, називають метрично визначеним.

2.1. ЦЕНТРАЛЬНЕ ПРОЕКЦІЮВАННЯ

Центральне проекціювання є одним із загальних випадків проекціювання геометричних об’єктів (геометричних образів) на площину, воно також може називатись конічним, полярним проекціюванням або перспективою. Цей спосіб використовується при побудові наочних зображень в архітектурно-будівельній справі, малюванні.

При центральному проекціюванні (побудова центральних проекцій) задають площину проекцій. На рис. 1 площина Р - площина проекцій, точка S - центр проекцій.

Рис. 1. Метод центрального проекціювання

Щоб спроекціювати довільну точку необхідно через неї і центр проекцій провести пряму. Точка перетину цієї прямої з площиною проекцій і буде шуканою центральною проекцією точки на вибраній площині проекцій.

На рис. 1 центральною проекцією точки А є точка А₁ перетину прямої AA₁ з площиною Р. Також побудовані центральні проекції В₁ С₁, D₁ точок В, С, D на площині Р.

Прямі, що проходять через центр проекцій називаються проекціювальними прямими. Центральні проекції В₁ і С₁ різних точок у просторі, що розташовані на одній проекціювальній прямій, співпадають. Множина точок простору, яка належить одній проекціювальній прямій має один центр проекціювання і одну центральну проекцію на заданій площині проекцій.

Властивості центрального проекціювання

1. За даними умовами проекціювання (заданою площиною Р і центром проекціювання S - рис. 2) кожна точка простору (за винятком точки S) має єдину свою проекцію, так як через цю точку і центр проекціювання можна провести тільки одну проекціювальну пряму.

2. Проекцією прямої у загальному випадку є пряма. В окремому випадку, коли пряма проходить через центр проекцій, вона проекціюється в точку, так як сама є проекціювальною прямою.

Кожній точці, яка належить будь-якій лінії (прямій чи кривій), відповідає проекція цієї точки, яка належить проекції цієї лінії, інакше, якщо В

АС, то В₁

А₁С₁ рис.2

Рисунок 2. Властивості центрального проекціювання

З інших властивостей центрального проекціювання можна виділити:

1. Крива лінія у загальному випадку проекціюється у криву, а в окремому - в пряму (рис. 2);

2. Точка перетину ліній проекціюється в точку перетину проекцій цих ліній.

Зокрема, зображення, отримані методом центрального проекціювання близькі до зорового сприйняття людським оком. Отже, вони мають велику ступінь наочності.

2.2. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКЦІЮВАННЯ

Паралельне проекціювання є окремим випадком центрального, якщо центр проекціювання віддалити у безмежність (рис. 3). У цьому випадку проекціювальні промені будуть паралельними між собою. Таке проекціювання називається паралельним. Зображення, яке отримаємо за цим методом проекціювання, буде паралельною проекцією.

Рисунок 3. Паралельне проекціювання.

Отже, паралельне проекціювання повністю визначається напрямом проекціювання і площиною проекцій.

Паралельне проекціювання має такі самі властивості, що і центральне. Разом з тим, йому належать додаткові властивості:

1. Проекції паралельних прямих паралельні. Так, площини ABC і A₁ B₁ C₁ (рис. 4, а), які проведено у просторі через паралельні прямі, будуть між собою паралельними. Такі площини перетинаються третьою (у прикладі площиною Р) по лініям, які паралельні між собою;

2. Відношення відрізків прямої дорівнює відношенню їх проекцій (рис. 4, б) - на основі властивостей пропорційності відрізків, які відсікаються паралельними прямими на прямих, що перетинаються;

3. Якщо в цій пропорції поміняти місцями крайні члени, тоді = const =k.

Це означає, що відношення довжини проекцій відрізка до дійсних розмірів самого відрізка є величиною сталою. Ця величина називається коефіцієнтом (чи показником) спотворення. Його широко використовують при побудові аксонометричних проекцій;

4. Відношення відрізків двох паралельних прямих дорівнює відношенню їх проекцій;

5. Плоска фігура, яка паралельна площині проекцій, проекціюється на цю площину в натуральну величину.

Рис. 10. Властивості паралельного проекціювання

Висновок

Якщо відрізок (чи плоска фігура) переміщуються у просторі паралельно сама собі, то його паралельна проекція не змінює своєї величини. Також не змінюється його проекція і при паралельному переміщенні площини проекцій.

У свою чергу паралельне проекціювання поділяється на косокутне (проекціювальні промені не перпендикулярні до площини проекцій) і прямокутне (проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій). Прямокутне проекціювання ще має назву ортогонального, а проекції ортогональні.

Залежно від положення площини проекцій та центрів проекціювання можна дістати різні проекційні системи. Найпоширенішою системою, що застосовується в машинобудуванні, архітектурі, будівництві є система прямокутних (ортогональних) проекцій, чи метод Монжа - метод паралельного проекціювання (при цьому беруться прямокутні проекції на дві взаємоперпендикулярні площини проекцій). За цим методом забезпечується наочність, точність і зручність зображення предметів на площині.

Означення

Зображення просторової фігури двома її ортогональними проекціями на дві взаємоперпендикулярні площини називається методом Монжа.

Особливості виконання креслеників методом ортогонального проекціювання

Процес розробки креслеників називається інженерною графікою, а теоретичною основою процесу створення креслеників виробів є нарисна геометрія. Кресленик - це основний тип конструкторського документа, який повинен відповідати ряду вимог. До загальних вимог слід віднести:

1. у ході виконання креслеників необхідно дотримуватись метода прямокутного проекціювання;

2. кресленик повинен бути простим і зрозумілим, щоб не виникнуло подвійного сприйняття;

3. кресленик завжди повинен бути наочним і давати чітке уявлення про предмет, що зображується незалежно від того чи це точка, чи виріб;

4. кресленик має виконуватись у строгій відповідності з правилами проекціювання і встановленими вимогами та умовностями;

5. кресленик завжди повинен бути виконаний в масштабі, за винятком ескізів;

6. поле кресленика завжди повинно бути рівномірно заповненим (75%);

7. лінії кресленика повинні відповідати стандарту ГОСТ 2.303-68 (ДСТУІБО 128- 20:2003).

Прямокутне (ортогональне) проекціювання є основним і найчастіше використовується в нарисній геометрії для відображення на площині об’єктів будь-якого рівня складності, що розташовані у просторі. Також за допомогою даного методу відображається інформація про сам об’єкт, яка характеризує його склад, структуру, форму, розміри форми, положення і орієнтацію об’єкта в просторі, а також операції, що здійснюються з ним.

Побудова геометричних об’єктів тісно пов’язана з просторовим уявленням контуру об’єкта, попереднім вибором його орієнтації, яка відносно площин проекцій забезпечує оптимальне відображення найбільшої інформації про об’єкт.

Правильний підхід до задачі - запорука успіху її розв'язання. Таким чином, перед тим як приступити до розв’язування задач необхідно опрацювати теоретичний матеріал із даної теми за підручником, навчальним посібником, конспектом лекцій, ознайомитись з методами і після цього можна приступати до графічного розв’язку задачі. Розв'язок будь-якої задачі зводиться до наступного:

· докладний аналіз умови задачі;

· складення алгоритму розв'язку задачі на епюрі й просторі;

· графічний розв'язок задачі.

Окремі задачі потребують вимірювання та елементарних обчислень. Усе це слід виконувати у робочому зошиті. Навички з графічної діяльності, як в традиційному навчанні так, і в графічному редакторі КОМПАС, можна отримати тільки при неодноразовому викреслюванні різних об’єктів, деталей, і чим більше тим краще.

Безумовно, всі вимоги до кресленика не перерахувати. Вони пізнаються у процесі навчання, розробок креслеників, але основна вимога - це дотримання комплексу стандартів ЄСКД, які ми будемо розглядати послідовно.

Запитання для перевірки знань

· Як класифікуються геометричні об’єкти?

· Які Вам відомі основні методи проекціювання геометричних об’єктів на площини?

· Сформулюйте і доведіть основні властивості паралельного проекціювання.

3. ТОЧКА

В інженерній практиці для відображення форми тривимірних об’єктів використовують два або три взаємоперпендикулярних направлення проекціювання (рис. 5, а) на відповідні їм три площини проекцій: горизонтальну – П₁ фронтальну – П₂ і профільну – П₃. Площини: П₁, П₂, П₃ приймаємо за основні площини проекцій.

Рис. 5 а. Розташування площин проекцій разом з проекціями точки

Рис. 5 б. Розташування площин проекцій разом з проекціями точки

При виконанні проекцій об’єктів на епюрах і креслениках направлення проекціювання за умовчанням не показують. Сам об’єкт попередньо подумки орієнтують відносно площин проекцій П₁ П₂ і П₃ так, щоб його проекції точно відображували найбільшу кількість частин об’єкта, мали прості форми, які б відповідали формі об’єкта в натурі та були максимально інформаційними, інакше відображували найбільшу кількість інформації про об’єкт, його склад, структуру форми та його розміри.

Перетинаючись між собою, площини П₁ і П₂ ділять простір на чотири частини, які називають чвертями (І, II, III, IV) чи квадрантами. їх нумерують у послідовності, вказаній на рис. 6, а. Першою чвертю вважають ту частину простору, в якій обидві площини проекцій повернуто до спостерігача видимими сторонами.

Рисунок 6 а. Утворення октант

Рисунок 6, б Утворення октант

В практиці у процесі створення креслеників і при розв'язуванні задач зустрічаються випадки, коли корисно мати не дві, а три проекції фігури на три взаємоперпендикулярні площини. При перетині ці площини утворюють 8 октант (рис. 6, б)

Кожній октанті відповідає своя система знаків направлення проекційних осей (табл. 2).

Просторову систему площин проекцій П₁ П₂ і П₃ перетворюють у плоску, розвертаючи площину П₁ навколо осі X, а площину Пз - навколо осі - Z до суміщення з площиною П₂ (рис. 5, а, б).

Графічною інформацією точки є її положення (координати) відносно площин проекцій П₁П₂, П₃.

На рис. 5 представлено наочне зображення (косокутна фронтальна диметрія) точки А, розташованої у просторі між площинами проекцій П₁ П₂ і П₃ Проекціювальні промені проходять через точку А в направлені векторів П₁*, П₂*, П₃*, які перпендикулярні до площин проекцій і в точці зустрічі з площинами проекцій утворюють відповідні проекції точки П₁(А₁), П₂(А₂), П₃(А₃), які розташовані в проекційному зв’язку.

Лінії зв’язку з’єднують проекції точок і вони перпендикулярні до осей проекцій, що утворюються в перетині суміжних площин проекцій.

Після перетворення наочного зображення у плоске вся інформація про просторове положення точки, відображується на одній площині, поділеної на частини П₁ П₂, П₃. Умовні границі площин проекцій на епюрі дозволяється не показувати. Читаючи такий епюр необхідно зрозуміти весь об’єм інформації про точку і по думки уявити повну картину її положення в системі площин проекцій П₁, П₂ і Пз. При виконанні проекцій геометричного об’єкта будь-якого ієрархічного рівня, побудови починаються з проекціювання точки, що входить до його структури.

Точка, яка належить трьом площинам проекцій є початком координат.

На кресленику зазвичай осі проекцій не показують. Тому, при побудові профільної проекції використовують наступні способи побудов (рис. 7, а, б, в):

· проекціювальний (рис. 7, а);

· координатний (рис. 7, б)

· з використанням постійної прямої (рис. 7, в), яку проводять під кутом 45° до тикальної (чи горизонтальної) лінії зв’язку. В нарисній геометрії таку пряму називають постійною прямою комплексного кресленика.

Рисунок 7. Способи побудови проекцій точки на епюрі

Положення точки у просторі може бути задане за допомогою трьох її вимірів (координат) широтою (абсцисою - X), глибиною (ординатою - У), висотою (аплікатою - Z), інакше трьома числами. Запис координат точки здійснюється у такому вигляді: А(х, у, z).

Стосовно площин проекцій точка може займати як загальне, так і окреме положення (рис. 8, а):

1. точка розташована у просторі - всі її проекції лежать на площинах проекцій (точка А);

2. точка належить одній з площин проекцій - одна її проекція збігається з точкою, а інші лежать на осях (точка В);

3. точка одночасно належить двом площинам проекцій (вона лежить на одній з осей проекцій) - дві її проекції співпадають, а третя співпадає з початком осей проекцій (точка С).

Залежно від положення точки в тій чи іншій чверті буде визначатися розташування її проекцій на епюрі (рис. 8, б):

а) якщо точка розташована в першій чверті, то горизонтальна проекція точки знаходиться під віссю проекцій, а фронтальна - над віссю проекцій (точка М)

б) якщо точка розташована в другій чверті, то обидві проекції точки - горизонтальна і фронтальна знаходяться над віссю проекцій (точка F);

в) якщо точка розташована в третій чверті, то горизонтальна проекція точки лежить над віссю проекцій, а її фронтальна проекція - під віссю (точка Е);

г) якщо точка розташована в четвертій чверті, то її горизонтальна і фронтальна проекції розташовані під віссю проекцій (точка D).

Рисунок. 8. Положення точки стосовно площин проекцій

Твердження

Якщо площини проекцій знаходяться у положенні П₁ і П₂, то кожній точці простору буде відповідати упорядкована пара точок на полях площин проекцій.

Справедливим є і протилежне твердження - упорядкованій парі точок, що лежать на полях площин проекцій відповідає єдина точка простору. Ця властивість є фундаментальною складовою, яка утворює основу побудови проекційного кресленика.

Відстань Y - від горизонтальної проекції точки до осі проекцій дорівнює відстані від самої точки до вертикальної площини проекцій.

Відстань Z - від вертикальної проекції точки до осі проекцій дорівнює відстані від самої точки до горизонтальної площини проекцій.

Координата Z - додатна для точок, що розташовані над горизонтальною площиною проекцій і від’ємна для точок, розташованих під горизонтальною площиною проекцій.

Координата Y - додатна для точок, що розташовані перед вертикальною площиною проекцій і від’ємна для точок, розташованих за вертикальною площиною проекцій.

Запитання для перевірки знань

· Що називають координатами точки простору?

· Що слугує межами між вказаними чвертями простору: між першою і другою, між третьою і четвертою, між першою і четвертою, між другою і третьою?

· Перерахуйте чверті простору, що розташовані над горизонтальною площиною проекцій, під горизонтальною площиною проекцій, перед вертикальною (фронтальною) площиною проекцій, за вертикальною площиною проекцій?

· Які координати вказують на положення горизонтальної, фронтальної і профільної проекції точки?

4. ПРЯМА

Інформацією про пряму є дані щодо її форми, положення і орієнтації стосовно площин проекцій. Пряма уявляє собою безперервну однопараметричну безмежність точок.

Інформацією про відрізок є дані, що відносяться до складу, структури, форми, положення, орієнтації і розмірів. Структуру відрізка утворює частина прямої, яка розташована між двома кінцевими точками.

Форма прямої характеризується тим, що у будь-якій її точці радіус кривизни дорівнює безмежності.

Розміри форми відрізка прямої характеризуються частиною прямої і відстанню між її кінцевими точками (довжина відрізка).

4.1 КОМПЛЕКСНИЙ КРЕСЛЕНИК ПРЯМОЇ. СЛІДИ ПРЯМОЇ.

Для побудови ортогональної проекції прямої необхідно визначити проекції множини точок, що утворюють пряму. Зрозуміло, що ортогональними проекціями прямої завжди будуть прямі, крім того випадку, коли пряма в просторі перпендикулярна до однієї з площин проекцій і для її побудови достатньо тільки двох точок, які належать даній прямій і через побудовані проекції точок провести пряму. Стосовно площин проекцій пряма займає довільне і особливе (часткове) положення. Особливе (часткове) положення: прямі рівня і проекціювальні прямі.

Означення

Довільним вважається таке положення, коли пряма розташована похило до всіх трьох площин проекцій, тобто пряма не паралельна і не перпендикулярна до жодної з. площин проекцій. Вона має назву прямої загального положення (рис. 9).

Рисунок 9

Означення

Пряма, паралельна до однієї з площин проекцій - називається прямою рівня (рис. 10). Пряма, перпендикулярна до однієї з площин проекцій - називається проекціювальною прямою (рис. 11).

Рисунок 10 Прямі рівня

Рисунок 11 Прямі проекціювальні

Проекції прямої і відрізка прямої на паралельні до них площини проекцій відбивають точно кути між ними і двома іншими площинами проекцій. Форма проекцій прямої і відрізка темо! співпадає з їх формою. Проекції відрізка коротші за довжину самого відрізка.

Твердження

Оскільки всі точки горизонтальної прямої рівновіддалені від площини П₁, то фронтальна проекція горизонталі паралельна осі ОХ, профільна проекція паралельна осі ОУ, а горизонтальна проекція відрізка горизонталі дорівнює натуральному відрізку прямої, що проекціюється.

Усі точки фронталі однаково віддалені від площини П₂, тому горизонтальна проекція фронталі паралельна осі ОХ, профільна проекція паралельна осі OZ, а фронтальна проекція відрізка фронталі дорівнює натуральному відрізку прямої, що проекціюється.

Оскільки всі точки профільної прямої однаково віддалені від площини Пз, то горизонтальна проекція і фронтальна проекція перпендикулярні до осі ОХ, а профільна проекція дорівнює натуральному відрізку прямої, що проекціюється.

Якщо пряма паралельна двом площинам проекцій, то вона перпендикулярна до третьої і проекціюється на неї в точку, а на дві інші площини проекцій відрізок такої прямої проекціюється в натуральну величину.

Означення

Слід прямої - це точка перетину прямої з площинами проекцій (рис. 12).

Слід прямої у площині Пі називається горизонтальним, у площині П 2 - фронтальнім, у площині Пз - профільним.

Рисунок 12 Слід прямої

Правило

Для знаходження горизонтального сліду прямої необхідно продовжити фронтальну проекцію прямої до перетину з віссю ОХ; з цієї точки провести перпендикуляр до осі ОХ і продовжити його до перетину з горизонтальною проекцією заданої прямої, ця точка і буде шуканою.

Для знаходження фронтального сліду прямої необхідно продовжити горизонтальну проекцію прямої до перетину з віссю ОХ; з цієї точки провести перпендикуляр до осі ОХ і продовжити його до перетину з фронтальною проекцією заданої прямої, ця точка і буде шуканою.

Сліди М і N прямої ділять її на частини, що розміщені в різних октантах і на які простір розбивають площини П₁ і П₂. Тому за проекціями прямої або її слідами можна визначити положення прямої в просторі відносно площин проекцій, встановити, через які октанти вона проходить.

4.2. ПОЛОЖЕННЯ ТОЧКИ І ПРЯМОЇ

Інцидентність точки і прямої паралельним проекціюванням не порушується. На основі цієї властивості можна сформулювати умову належності точки прямій у просторі (рис. 13).

Твердження

Якщо в просторі точка лежить на прямій, то на епюрі проекції точки лежать на однойменних проекціях цієї прямої.

Якщо в просторі пряма проходить через точку, то на епюрі проекції прямої проходять через однойменні проекції цієї точки.

Рисунок 13 Положення точки і прямої

Висновок

Якщо хоч одна із проекцій точки не лежить на відповідній проекції прямої, то точка не лежить на прямій.

4.3. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ДВОХ ПРЯМИХ

Прямі лінії у просторі, що проходять через два відрізки, що їх визначають і в залежності від відносного розташування відрізків можуть бути паралельними, перетинатися або мимобіжними.

Твердження

Якщо дві прямі у просторі паралельні, то їх однойменні проекції також паралельні (рис. 14, а).

Для прямих загального положення справедливе й обернене твердження: якщо дві однойменні проекції прямих попарно паралельні, то прямі у просторі паралельні.

Якщо дві прямі у просторі перетинаються, то їх однойменні проекції перетинаються між собою в точках, які є проекціями точки перетину даних прямих, при цьому ці точки-проекції повинні лежати на одному й тому ж перпендикулярі до відповідної осі проекцій (рис. 14, б).

Якщо дві прямі не паралельні і не перетинаються, то вони мимобіжні (рис. 14, в).

Рисунок 14 Взаємне положення двох прямих

Ділення відрізка прямої в заданому відношенні

Відрізок прямої лінії можна поділити точкою у будь-якому заданому відношенні. Точка може бути розташованою як на самому відрізку, так і за межами, тобто на продовженні його.

Твердження

Якщо точка належить відрізку прямої, то вона ділить відрізок у будь-якому заданому відношенні. Таке ділення називається внутрішнім (рис. 15, а).

Якщо точка належить прямій даного відрізка, але лежить не на відрізку, а на його продовженні, то вона також ділить відрізок у будь-якому заданому відношенні. Таке ділення називається зовнішнім (рис. 15,6).

Правило

Щоб поділити відрізок прямої у заданому відношенні, необхідно спочатку з будь-якої точки кінця відрізка довільно провести допоміжну пряму, яку поділимо у заданому відношенні, наприклад 2:3, на рівні частини будь-якої довжини (на рис. 15 - відкладено п’ять однакових відрізків). Крайню точку з’єднуємо з іншим кінцем відрізка і через точку, що ділить відрізок у заданому відношенні проводимо промінь паралельно до побудованого відрізка.

Рисунок 15 Ділення відрізка в заданому співвідношенні

4.4. ВИЗНАЧЕННЯ ДОВЖИНИ ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ І КУТІВ НАХИЛУ ЙОГО ДО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

Пряма лінія, що займає у просторі довільне положення, нахилена до площин проекцій під довільними кутами. Кут між прямою і площиною визначається кутом, який складається з прямої та її ортогональної проекції. Цей же кут можна визначити як додатковий до гострого кута між прямою і направленням площини, утворюючи кут 90°.

Довжину відрізка прямої і кут його нахилу до площин проекцій можна визначити, використовуючи побудову прямокутного трикутника.

Схема розв’язку задачі і приклад наведено на рисунку 16 а, б.

Рисунок 16 Визначення довжини відрізка та нахилу кутів його до площин проекцій

У прямокутному трикутнику АВК (рис. 16, а) один з катетів дорівнює проекції відрізка на площину Р, а другий - різниці віддалей точок А і В кінців даного відрізка від площини Р (ВК=ВВ₁-АА₁). Гіпотенуза АВ прямокутного трикутника нахилена до катета АК під кутом α, який дорівнює куту нахилу відрізка АВ до площини Р.

Побудований в площині Р прямокутний трикутник А₁В₁В₀ визначає дійсну величину відрізка прямої лінії, а кут α - кут нахилу прямої до площини проекцій.

Твердження

Довжину відрізка прямої за його проекціями можна визначити як гіпотенузу прямокутного трикутника, одним з катетів якого є одна з проекцій даного відрізка, а другим катетом - абсолютна величина алгебраїчної різниці відстаней від кінців другої проекції відрізка до осі проекцій.

Якщо відрізок паралельний до горизонтальної площини проекцій, то кут між горизонтальною проекцією даного відрізка і віссю проекцій дорівнює куту нахилу самого відрізка до вертикальної площини проекцій.

Якщо відрізок паралельний до вертикальної площини проекцій, то кут між вертикальною площиною даного відрізка і віссю проекцій дорівнює куту нахилу самого відрізка до горизонтальної площини проекцій.

Кут у трикутнику між катетом - горизонтальною проекцією відрізка і гіпотенузою, є його дійсною величиною, дорівнює куту нахилу самого відрізка до горизонтальної проекцій (рис.16, б - кут α).

Кут у трикутнику між катетом - вертикальною проекцією відрізка і гіпотенузою, його натуральною величиною, дорівнює куту нахилу самого відрізка до вертикальної площини проекцій (рис. 16, б - кут (β).