 |
Понятие об устойчивости равновесия упругих тел
|
|
|
|
РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Основные теоретические сведения и расчетные формулы
Понятие об устойчивости равновесия упругих тел
Из теоретической механики известно, что равновесие твердых тел может быть устойчивым или неустойчивым. Например, шарик, расположенный на дне вогнутой сферы, находится в устойчивом равновесии (рис. 8.1, а), а на вершине выпуклой сферы – в неустойчивом (рис. 8.1, б).
Рис. 3.1. Устойчивое (а) и неустойчивое (б) равновесие
|
При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо внешней силой из положения равновесия, возвращается в это положение после прекращения действия силы.
Аналогичные случаи устойчивого и неустойчивого равновесия имеются и в статике упругих тел.
Рис. 8.2. Формы равновесия
упругого стержня
|
Прямолинейная форма равновесия упругого стержня, заделанного нижним концом и нагруженного сверху центрально приложенной сжимающей силой, при некоторой величине этой силы может оказаться неустойчивой, и стержень резко искривится (рис. 8.2).
Устойчивость или неустойчивость формы равновесия упругого тела зависит от его размеров, материала, величин и направления сил; например, прямолинейная форма равновесия центрально сжатого стержня (рис. 8.2) устойчива при малых значениях сжимающей силы и неустойчива, когда величина этой силы превышает некоторый предел.
Прямолинейный стальной стержень при некотором значении сжимающей силы может находиться в состоянии устойчивого равновесия, а деревянный стержень таких же размеров при том же значении силы — в состоянии неустойчивого равновесия.
Значение силы, нагрузки и напряжения, при котором первоначальная форма равновесия упругого тела становится неустойчивой, называется соответственно критической силой, критической нагрузкой и критическим напряжением.
|
|
|
Исследование устойчивости и определение критических сил или нагрузок имеет большое практическое значение, так как для любого сооружения в целом и каждого его элемента должна быть обеспечена устойчивость заданной (исходной) формы равновесия под действием приложенных к нему сил. Резкое изменение формы какого-либо элемента может вызвать разрушение всего сооружения.
Понятие устойчивости не следует смешивать с понятием прочности; каждое из них имеет самостоятельное значение. Так, например, сжатый стержень при действии на него нагрузки, большей критической, изогнется, но при этом деформации его могут быть упругими, и он после снятия нагрузки восстановит свою первоначальную форму. Следовательно, потеря устойчивости в этом случае не связана с потерей прочности.
8.2. Продольный изгиб
Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.
Рис. 8.3. Криволинейная форма
равновесия стержня
|
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, нагруженный на верхнем конце центрально приложенной сжимающей силой Р (рис. 8.3).
Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Для ее определения отклоним стержень в положение, показанное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стержень может не вернуться в прежнее положение.
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид *
(8.1)
Начало координат считаем расположенным у нижнего конца стержня; а ось х — направленной вверх.
|
|
|
Изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен 
.
Подставим выражение М в уравнение (8.1):
,
__________________________
* Приближенное уравнение можно использовать потому, что потеря устойчивости стержня возникает при малых его деформациях.
или
 ,
| (8.2) |
где
 .
| (8.3) |
Интеграл дифференциального уравнения (8.2) имеет вид
 .
| (8.4) |
Произвольные постоянные А и В можно определить из граничных условий:
а) при 
и 
и, следовательно, на основании уравнения (8.4)
,
т.е. 
;
б) при 
, и, следовательно, на основании уравнения (8.4)
,
или
 .
| (8.5) |
Условие (8.5) выполняется при В = 0 или sin kl = 0. При подстановке значения В = 0 и найденного значения А = 0 в уравнение (8.4) получаем выражение у = 0, не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.
Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (8.5), необходимо принять sin kl=0 или [на основании выражения (8.3)]
| (8.6) |
откуда
| (8.7) |
где п = 1, 2, 3,....
Условие (8.6) удовлетворяется и при n = 0, однако при этом из выражения (8.7) следует P = 0, что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение 
, отличное от нуля, можно получить из выражения (8.7) при n = 1. Тогда
и
| (8.8) |
Формула (8.8) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила 
называется также эйлеровой критической силой.
Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.
Формула (8.8) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.
Рис. 8.4. Форма криволинейного
равновесия стержня,
защемленного одним концом
|
Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной l, защемленный (заделанный) одним концом. Возможная форма равновесия такого стержня при критическом значении силы Р имеет вид, показанный на рис. 8.4.
Сравнивая рис. 8.4 и рис. 8.3 устанавливаем, что стержень длиной l с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 2l с шарнирно закрепленными концами, изогнутая ось которого показана на рис. 8.4 пунктиром. Следовательно, значение критической силы для стержня с одним защемленным концом можно найти, подставив в формулу (8.8) величину 2l вместо l, тогда
|
|
|
 .
| (8.9) |
Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Форма равновесия стержня,
защемленного двумя концами
|
Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.
Из сопоставления рис. 8.5 и рис. 8.4 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 8.4.
Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу (8.9) величину 
вместо l. Тогда
. (8.10)
Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.
Формулы Эйлера (8.8), (8.9) и (8.10) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:
 .
| (3.11) |
Здесь 
- так называемый коэффициент приведения длины; 
- приведенная длина стержня.
Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент имеет следующие значения:
Для стержня с шарнирно закрепленными концами..... 1
Для стержня с заделанными концами..…………......... 0,5
Для стержня с одним заделанным и другим
свободным концом..…………………..................... 2
Для стержня с одним заделанным и другим
шарнирно закрепленным концом...... ……............. 0,7
Из формулы (8.11) следует, что значение критической силы прямо пропорционально жесткости EJ поперечного сечения стержня при изгибе и обратно пропорционально квадрату длины стержня.
|
|
|
При потере устойчивости искривление (выпучивание) стержня происходит, как правило, в плоскости, перпендикулярной главной оси минимум поперечного сечения, т.е. при изгибе сечения поворачиваются вокруг этой оси. Поэтому критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции 
. Исключения могут быть лишь в случаях, когда условия закрепления концов стержня в разных плоскостях, проходящих через его ось, различны.
По значению критической силы можно определить вызванное ею критическое сжимающее напряжение 
, т.е. то напряжение, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой:
.
Заменив в этом выражении J на 
и введя обозначение
 ,
| (8.12) |
получим
 .
| (8.13) |
Величина 
, равная отношению приведенной длины стержня к радиусу инерции i поперечного сечения стержня, называется гибкостью стержня. Так как потеря устойчивости, как правило, происходит в плоскости наименьшей жесткости, то в выражение гибкости обычно входит минимальный радиус инерции 
поперечного сечения.
8.3. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности
Формулы, выведенные ранее, справедливы только тогда, когда напряжения в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности, т.е. когда 
. Это следует из того, что в основу вывода формул положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.
Подставляем в условие значение по формуле (8.13):
.
Из этого уравнения
 .
| (8.14) |
Правая часть выражения (8.14) представляет собой то наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима,— это так называемая предельная гибкость 
.
 .
| (8.15) |
Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня — его модуля упругости и предела пропорциональности.
Условие (8.14) применимости формул Эйлера с учетом выражения (8.15) можно представить в виде
 .
| (8.16) |
Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной.
Приведем значение для различных материалов.
Для стали СтЗ 
, 
МПа и, следовательно,
Для дерева 
; для чугуна 
. Для стали с повышенным значением 
предельная гибкость уменьшается по выражению (8.15). В частности, для некоторых марок легированной стали 
Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критические напряжения определяются по эмпирическим формулам.
|
|
|
Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу критических напряжений для стержней, имеющих гибкость , меньшую предельной:
| (8.17) |
где а и b — определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали Ст.З
МПа; 
МПа.
Формула (8.17) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости 
При гибкости 
напряжение считается примерно постоянным и равным пределу текучести.
На рис. 8.6. приведен график, изображающий зависимость от гибкости стержня для стали Ст З. На участке напряжение имеет постоянное значение; на участке 
оно изменяется по закону прямой, определяемой формулой Ясинского (8.17); при > 100 напряжение определяется по формуле Эйлера (8.13).
Рис. 8.6. Зависимость критических напряжений от гибкости для Ст 3
Умножая величину критического напряжения на площадь поперечного сечения стержня 
, можно определить критическую силу. Здесь — площадь брутто поперечного сечения стержня, т.е. без учета его ослаблении.
|
|
|
