Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Особенности описания нелинейных элементов.




При расчетах нелинейных цепей чаще всего пользуются аналитическим представлением характеристик нелинейных элементов. В большинстве случаев основой для такого представления являются экспериментально полученные данные. Поэтому задача получения аналитического описания характеристики элемента сводится к аппроксимации соответствующей зависимости, представленной в табличной форме. Выбор аппроксимирующей функции определяется как характером нелинейности, так и используемым расчетным методом, а также диапазоном изменения расчетных величин. Например, при анализе нелинейной электронной цепи в малосигнальном режиме характеристики нелинейных элементов линеаризуются в окрестности рабочей точки. Это приводит к расчету линейной цепи, в которой нелинейные элементы заменены их дифференциальными параметрами в рабочей точке.

При аппроксимации характеристик нелинейных элементов f = f (x) всех видов чаще всего используют полиномы f = k 1 + k 2 x + k 3 x 2 +..., степенные функции f = kx , экспоненты f = k 1 e x + k 2 или другие простейшие трансцендентные функции, характер которых отвечает виду аппроксимируемой зависимости.

Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, рассматриваемыми в курсе численного анализа.

При необходимости охвата широкого диапазона изменения переменных используют различные аппроксимирующие выражения на отдельных интервалах изменения переменных. Из них наиболее распространена кусочно-линейная аппроксимация, при которой в каждом отдельном интервале аргумента (xk, xk +1) функция аппроксимируется линейным отрезком

,

где fk и fk +1 — значения аппроксимируемой функции на границах интервала,  fk = fk +1 fk,  xk = xk +1xk.

Более точной является аппроксимация характеристик сплайнами — кусочная аппроксимация с помощью кубических парабол на отдельных интервалах (xk, xk +1). Их параметры выбирают из условий непрерывности функций f (x), их первых и вторых производных в граничных точках интервалов xk.

Для реализации перечисленных методов — среднеквадратичного приближения, кусочно-линейной и сплайновой аппроксимации — имеются специальные вычислительные программы. Их целесообразно применять при высоких требованиях к точности расчета нелинейной цепи. Если целью расчета является лишь получение качественных оценок, то можно использовать более простую и более грубую аппроксимацию. Иногда подобный путь позволяет получить аналитическое решение нелинейной задачи. Предельное упрощение достигается при условной линеаризации нелинейного элемента — линеаризации нелинейных членов уравнений цепи, мало влияющих на ход процесса.

 

Многообразие установившихся вынужденных и автономных режимов.

Метод фазовой плоскости.

Метод фазовых траекторий представляет собой графо-аналитический способ исследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведения систем при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов.

Свободное движение нелинейной динамической системы управления с одной управляемой величиной в общем случае можно описать с помощью дифференциальных уравнений первого порядка:

, (8.2)

где фазовые переменные состояния.

Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение однозначно определены, если в данный момент времени известны значения всех переменных . Эти значения можно рассматривать как координаты точки в -мерном пространстве, которое называется фазовым пространством.

Точку с координатами называют изображающей точкой, а линию, по которой она перемещается при изменении состояния системы – фазовой траекторией.

Конкретной группе начальных условий соответствует единственное решение системы (8.2) – определенная совокупность искомых функций времени . Поэтому каждой группе начальных условий соответствует только одна начальная точка и единственная фазовая траектория, а множеству групп начальных условий соответствует семейство траекторий, которое называется фазовым портретом системы.

Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа систем второго порядка, так как фазовые траектории располагаются в одной плоскости – в фазовой плоскости переменных и . Фазовый портрет этих систем можно построить непосредственно по дифференциальному уравнению, не решая его.

Пусть описание системы представлено в виде системы двух уравнений первого порядка:

(8.3)

где – отклонение выходной величины или сигнала ошибки от установившегося значения.

Если в качестве второй переменной состояния принята производная переменной , т.е. , то всегда функция .

Разделив второе уравнение системы (8.3) на первое, можно получить уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:

, (8.4)

в котором независимой переменной является величина (не время !), а зависимой – .

Разделяя далее переменные и и интегрируя уравнение (8.4), получаем уравнение фазовых траекторий в явном виде:

, (8.5)

где – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

Рассмотрим характерные фазовые траектории (рис. 8.4, б, г, е) системы второго порядка, соответствующие затухающему, расходящемуся и незатухающему колебательным процессам (рис. 8.4, а, в, д).

Рис. 8.4. Переходные процессы и фазовые траектории нелинейной системы

Моменты времени , когда кривые достигают своих максимумов и минимумов, соответствуют пересечению фазовыми траекториями , а моменты прохождения кривыми через нуль – пересечению оси .

Самые важные для анализа нелинейных систем свойства фазовых траекторий заключаются в следующем:

Неустойчивому процессу соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат.

Периодическому процессу соответствует замкнутая фазовая траектория, называемая предельным циклом.

Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей кусочно-линейной или разрывной характеристикой, состоит из нескольких областей с различными фазовыми траекториями. Линии, отделяющие на плоскости одну область от другой, называются линиями переключения.

В точках пересечения фазовыми траекториями линий переключения происходит излом траекторий. Это происходит из-за смены правой части уравнения (8.4).

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...