Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.




Задача 14

Найти производные первого порядка заданных функций:

14.1.

14.2.

,

14.3.

14.4.

14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

 

Задача 15

Найти для заданных функций:

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

15.8.

15.9.

15.10.

Задача 16

 

Используя геометрический или физический смысл производной, решить задачу:

16.1. а) В какой точке касательная к параболе у = – х 2 + 7 х – 10перпендикулярна прямой х + у -1 = 0? Составить уравнение касательной. Сделать чертеж.

б) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время Т = 8 сек. Найти угловую скорость w в момент t = 32 сек после начала движения.

 

16.2. а) При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х 2 и у = х 3 параллельны? Найти уравнения этих касательных. Сделать чертеж.

б) Тело массой т = 4 двигается прямолинейно по закону X = t2+ t+ 1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5.

16.3. а) Под каким углом график функции у = пересекает прямую х = 2.

б) Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяется объем и поверхность шара?

16.4. а) Под каким углом пересекаются кривые х 2у 2 =? Указание: под углом между кривыми понимают угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения.

б) Угол j, на который поворачивается колесо за t сек., равен j , где - положительные константы. Найти угловую скорость w движения колеса. Через сколько времени от начала движения угловая скорость будет равна нулю?

16.5. а) Показать, что отрезок касательной к астроиде , заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную .

б) В какой точке эллипса 16 х2 + 9 у 2 = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?

 

16.6. а) Какой угол образует с прямой у = 2 х - 3 касательная к параболе у = х 2 - 3 х+ 5, проведенная в точке (2, 3)? Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

б) Барометрическое давление Ризменяется с высотой h по закону , где Р0 - нормальное давление, с – некоторая постоянная. На высоте 5540 м давление равно половине нормального. Установите зависимость скорости изменения давления от высоты.

 

16.7. а) Найти уравнение касательной и нормали в точке (2; 2) к кривой, заданной параметрически уравнениями .

б) По оси абсцисс двигаются две точки, имеющие законы движения х= 100 +5t и х = 0,5 t, где t >0. С какой скоростью удаляются точки друг от друга в момент встречи?

 

16.8. а) Найти уравнение касательной к кривой у = х 2 + 2 х - 1 в точке её пересечения с параболой у = 2 х 2. Сделать чертеж.

б) Показать, что если тело движется по закону S = a e-t + b e-t , то его ускорение численно равно пройденному пути.

 

16.9. а) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у= х 2 + 3 х - 10образует угол 1350 с положительным направлением оси ОХ. Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

б) Точка двигается прямолинейно по закону s = t 3 - 16 t 2 + 64 t. Определить: 1) в какие моменты времени точка находилась в начале координат; 2) в какие моменты времени её скорость была равна нулю?

16.10. а) Написать уравнение касательной к кривой в точке (- , 0).

б) Точка двигается по гиперболе так, что ее абсцисса растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5;2)?

 

Задача 17

Исследовать функцию и построить ее график:

 

17.1. 17.2. у =
17.3. у = . 17.4.
17.5. 17.6.
17.7. 17.8.
17.9. 17.10.

 

Функции нескольких переменных

Задача 18.

Найти область определения функции. Сделать чертеж.

18.1. а) ; б) .

18.2.. а) ; б) .

18.3.. а) ; б) .

18.4. а) ; б) .

18.5. а) ; б) .

18.6. а) ; б) .

18.7. а) ; б) .

18.8. а) ; б) .

18.9. а) ; б)

18.10. а) ; б) .

 

Задача 19.

Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению.

19.1 , .

19.2 , .

19.3 , .

19.4 , .

19.5 , .

19.6 , .

19.7 , .

19.8. , .

19.9 , .

19.10. ,

Задача 20.

Линеаризовать функцию в окрестности точки .

20.1. .

20.2. .

20.3. .

20.4. .

20.5. .

20.6.

20.7. .

20.8. .

20.9. .

30.10. .

 

Задача 21.

Для функции найти:

а) производную в точке в направлении вектора ;

б) градиент в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

21.1. .

21.2. .

21.3. .

21.4.. .

21.5. .

21.6. .

21.7. .

21.8. .

21.9. .

21.0. .

Задача 22.

Найти экстремум функции .

22.1. .

22.2. .

22.3. .

22.4. .

22.5. .

22.6. .

22.7. .

22.8. .

22.9. .

22.10. .

Задача 23.

Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = ax + b (в нечетных номерах) и y = ax 2 + b (в четных номерах). Экспериментально полученные п значений искомой функции y = f (x) при п значениях аргумента приведены в таблице.

23.1.

23.2.

23.3.

23.4.

23.5.

23.6.

23.7.

23.8.

23.9.

23.10.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...