 |
Линейная зависимость элементов
|
|
|
|
Линейного пространства
Пусть векторы 
являются элементами линейного пространства. С помощью линейных операций (сложения и умножения на число) составим выражение вида
, (1.1)
где 
– вещественные числа. Выражение (1.1) называется линейной комбинацией векторов , а числа 
– коэффициентами линейной комбинации. Если 
, то комбинация называется тривиальной. Если существует номер 
, 
такой, что 
, то линейная комбинация называется нетривиальной.
Определение. Конкретный набор векторов из линейного пространства Х называется системой векторов, а любая его часть – подсистемой.
Определение. Система векторов в линейном пространстве Х называется линейно зависимой (говорят, что векторы линейно зависимы), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т. е. векторы линейно зависимы, если найдутся вещественные числа 
, удовлетворяющие условию 
, такие, что 
.
Теорема. Для того чтобы система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов являлся линейной комбинацией остальных, т. е. векторы 
, 
, …, 
линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует номер , такой, что выполняется равенство 
.
Доказательство. А) Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы. Тогда существуют вещественные числа 
, не равные одновременно нулю, такие, что 
. Для определенности будем считать, что 
(). Тогда
.
Введем обозначения: 
, (
). С учетом этих обозначений вектор 
представляется в виде 
, т. е. является линейной комбинацией остальных векторов.
Б) Достаточность. Пусть вектор 
представляется в виде 
. Следовательно, 
. Эта линейная комбинация, равная нулевому вектору, является нетривиальной, так как коэффициент перед 
равен –1, поэтому векторы 
, 
, …, 
линейно зависимы. Теорема доказана.
|
|
|
Свойства систем векторов
Из аксиом линейного пространства следуют простейшие свойства систем векторов 
, 
, …, 
произвольного линейного пространства Х.
1. Если существует такой номер 
, что 
, то система векторов 
, 
, …, 
линейно зависима.
Доказательство. Составим линейную комбинацию векторов 
, 
, …, 
: 
. Эта линейная комбинация равна нулевому вектору и не является тривиальной, следовательно, система векторов линейно зависима.
Свойство доказано.
2. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то система линейно зависима.
Доказательство. В системе векторов 
, 
, …, 
линейного пространства Х выделим линейно зависимую подсистему 
, 
, …, 
(
). Тогда существуют числа 
, 
, …, 
такие, что 
.
Рассмотрим линейную комбинацию 
, в которой 
. Эта линейная комбинация равна нулевому вектору и не является тривиальной, так как 
, следовательно, система векторов 
, 
, …, 
линейно зависима. Свойство доказано.
3. Если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть в линейно независимой системе векторов 
, 
, …, 
линейного пространства Х подсистема векторов 
, 
, …, 
(
) является линейно зависимой. Тогда по предыдущему свойству вся система линейно зависима. Пришли к противоречию с предположением, что система векторов линейно независима.
Свойство доказано.
4. Если векторы 
, 
, …, 
линейного пространства Х линейно независимы, а вектор 
, 
Х не является линейной комбинацией векторов 
, 
, …, 
, то расширенная система векторов 
, 
, …, 
, 
линейно независима.
Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пусть расширенная система векторов 
, 
, …, 
, 
линейно зависима, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация 
. Коэффициент 
равен нулю (в противном случае вектор 
есть линейная комбинация векторов 
, 
, …, 
). Тогда 
, и векторы 
, 
, …, 
будут линейно независимы, если 
. Следовательно, линейная комбинация 
, равная нулевому вектору, является тривиальной. Получили противоречие с предположением существования нетривиальной линейной комбинации 
, равной нулевому вектору. Свойство доказано.
|
|
|
Пример. Рассмотрим векторы 
, 
, 
в трехмерном пространстве. Составим линейную комбинацию этих векторов 
. Эта линейная комбинация будет равна нулевому вектору, если выполняются условия: 
. Система линейных однородных уравнений относительно 
, 
и 
имеет единственное нулевое решение. Следовательно, линейная комбинация векторов 
, 
, 
, равная нулевому вектору, будет тривиальной, т. е. векторы линейно независимы.
|
|
|
