Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

t-критерий для связанных (зависимых) измерений

С целью оценки достоверности сдвига значений в зависимых выборках используют t-критерий Стьюдента для зависимых измерений. Критерий для связанных выборок имеет следующую формулу:

где М_d – среднее арифметическое разностей индивидуальных значений, а σ_d - стандартное отклонение значений разностей. Количество степеней свободы df = n-1.

Следующий пример демонстрирует алгоритм расчета критерия. Перед началом первого учебного года был измерен уровень интеллекта у группы студентов. В начале второго учебного года при помощи параллельной методики вновь был измерен уровень интеллекта. Поскольку можно использовать результаты только одних и тех же людей, из дальнейшей обработки были исключены результаты тех студентов, которые оставили обучение в институте (которые не подверглись обследованию на фазе заключительных срезов). Можно ли сказать, что за год обучения интеллектуальный уровень студентов значимо изменился?

8.
Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо не отличается от нуля.

Н₁: сдвиг между показателями начальных и конечных срезов значимо отличается от нуля.

n	Начальный срез (x_i)	Конечный срез (y_i)	d_i = y_i - x_i	d_i - M_d	(d_i - M_d)²
1	100	115	15	10,58	111,94
2	102	102	0	-4,42	19,54
3	105	114	9	4,58	20,98
4	120	122	2	-2,42	5,86
5	110	118	8	3,58	12,82
6	106	114	8	3,58	12,82
7	109	100	-9	-13,42	180,10
8	115	120	5	0,58	0,34
9	115	118	3	-1,42	2,02
10	114	124	10	5,58	31,14
11	111	117	6	1,58	2,50
12	125	121	-4	-8,42	70,90
n=12			Σd_i = 53		Σ = 470,92

М_d = Σd_i / n = 4,42

σ_d = = 6,54

t_эмп = = 2,341

df = 12 - 1 = 11

В нашем примере t_кр при df = 11 составляет 2,201 при р ≤ 0,05. Таким образом,
t_эмп > t_кр (р ≤ 0,05) ¹> H_0,Þ Н₁! _{ст. зн}.

То есть, мы можем принять на уровне статистической значимости гипотезу о достоверности сдвига значений интеллекта за год обучения.
^

Т-критерий Вилкоксона (ранговый критерий для повторных измерений)

Т-критерий Вилкоксона используется для решения тех же задач, что и t-критерий Стьюдента для связанных выборок. Отличие состоит в том, что Т-критерий Вилкоксона можно применять для порядковых данных, и исходные распределения не обязательно должны быть нормальными.

Формула имеет вид: Т = ΣRr. Где ΣRr – сумма нетипичных рангов.

Пояснить алгоритм расчета можно на следующем примере. Допустим, в кабине самолета (и на тренажере) изменили эргономическую среду. Для выполнения определенной задачи летчик раньше тратил одно количество секунд, а в новой среде он на выполнение тех же действий тратит другое количество времени. Таким образом, были сделаны замеры у 10 летчиков. Определить достоверность преобладания сдвига значений в направлении одной из сторон при условии, что результаты второго среза обусловлены исключительно изменением эргономической среды.

Формулируются статистические гипотезы.

Н₀: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо не отличается от нуля.

Н₁: преобладание сдвигов между начальными и конечными показателями в одном из направлений значимо отличается от нуля.

Определяются величины сдвигов между начальными и конечными показателями, затем они переводятся в абсолютные значения и ранжируются по принципу «меньшему значению – меньший ранг». Затем выделяются нетипичные (чья направленность отличается от большинства) ранги и подсчитывается их сумма.

n	Начальные показатели	Конечные показатели	Разность показателей (d)	Абсолютное значение разности	Ранг разности
1	52	51	1	1	1
2	55	60	-5	5	4,5
3	47	41	6	6	6,5
4	62	68	-6	6	6,5
5	58	58	0	0	0
6	59	55	4	4	2,5
7	44	40	4	4	2,5
8	57	49	8	8	8
9	61	52	9	9	9
10	63	68	-5	5	4,5

Следует обратить внимание: в нашем примере одно из значений d равно 0. Поэтому при ранжировании разностей мы присваиваем ему нулевой ранг.

В таблице нетипичные ранги выделены жирным шрифтом. Сумма нетипичных рангов равна искомому эмпирическому значению. Т_эмп = 4,5+6,5+4,5=15,5

Для Т-критерия Вилкоксона правило принятия-отвержения нулевой гипотезы следующее: Т_эмп ≤ Т_кр Þ Н₁!

Следует дополнительно добавить, что этот критерий может быть односторонним (если направление сдвигов предсказывается) и двусторонним (если мы не предсказываем направление сдвигов). Уровни значимости для одностороннего и двустороннего критерия различны.

В нашем случае мы имеем дело с двусторонним критерием, так как предварительно не предсказывали направление различий. Для n = 10 критическое значение при (р ≤ 0,05) составляет 10. То есть Т_эмп > Т_кр (р ≤ 0,05) Þ Н₀! Мы можем констатировать, что достоверность преобладания сдвигов ни в одном из направлений не установлена. Возможно, что мы могли бы опровергнуть нулевую гипотезу, если бы увеличили количество наблюдений.
^

Задания для самостоятельной работы.

1.
Группе студентов перед прохождением тренинга было предложено протестироваться при помощи методики САН (самочувствие, активность, настроение). После тренинга данным студентам предложили пройти повторное тестирование этой же методике. Результаты приведены в таблице.

№	до тренинга	после тренинга
1	150	168
2	180	184
3	122	129
4	143	147
5	125	134
6	170	178
7	165	165
8	161	162
9	148	150
10	180	184

Можно ли утверждать, что работа на тренинге помогла студентам улучшить их функциональное состояние? Визуальный анализ данных позволяет сказать, что сдвиг показателей действительно имел место. Но насколько достоверен этот сдвиг? Для выполнения задания использовать t-критерий Стьюдента.

2. В группе студентов был проведен тренинг креативного мышления. Перед тренингом и после него были сделаны тестовые срезы по параллельным формам теста Й Ниссинена и Э. Воутилайнена (методика изучения творческого потенциала). Данные срезов сведены в таблицу. Определить результативность стимульного воздействия, при этом для решения задачи использовать Т-критерий Вилкоксона.

№	до тренинга	после тренинга
1	19	17
2	26	20
3	18	20
4	15	18
5	29	30
6	21	25
7	21	28
8	18	19
9	21	20
10	23	27
11	14	19
12	10	13

Тема 11 Использование математического аппарата при описании группового поведения

Математический аппарат может активно использоваться при обработке результатов социометрического, референтометрического и других видов исследований. Ниже в качестве примера дана обработка результатов социометрии.

Проведение социометрического исследования строится на постулате, что структуру отношений в коллективе можно выяснить, анализируя выборы партнера для совместной реализации какой-либо деятельности. Такие виды деятельности заранее четко определены и называются социометрическими критериями. Критерии подбираются таким образом, чтобы они отражали взаимоотношения между испытуемыми, создавали условия выбора партнера, предоставляли право выбора любого члена коллектива, интересовали коллектив, описывали конкретные ситуации, были четко сформулированы. При этом социометрические критерии определяет сам психолог с учетом специфики конечной задачи исследования и рода деятельности испытуемых.

Проведение исследования строится по следующему алгоритму:

1.
Составление опросного листа, с включением вопросов, предусматривающих выбор. Для студенческой среды рекомендуется выбор с включением следующих сфер деятельности: а) учеба, б) труд, в) досуг.

2.
Проведение инструктажа изучаемого коллектива. При этом социометрическое исследование можно проводить только в случае, если есть возможность опросить всех членов коллектива. Например, в студенческой группе не следует проводить тестирование, если кто-то из группы сегодня не пришел на занятие и психолог не сможет с ним встретиться в дальнейшем.

3.
Осуществление социометрического опроса.

4.
Составление социометрической матрицы.

5.
Составление социограммы. При этом тестируемые мужского пола обозначаются маленькими треугольниками, а женского пола – кружочками.

6.
Подсчет социометрических индексов.

7.
Анализ и интерпретация полученных результатов.

Опросный лист имеет примерно следующий вид:

Опросный лист

Фамилия, имя, отчество _________________ группа ____________
I. Учебная деятельность. С кем из студентов вашей группы вы предпочли бы готовиться к экзаменам?

1. ________________ 2. ________________ 3. ________________
II. Трудовая деятельность. С кем из студентов вы пошли бы работать на производственную практику в коммерческую фирму, с условием, что во время практики вам начисляют зарплату, и ее размер зависят от вклада каждого из сотрудников?

1. ________________ 2. ________________ 3. ________________
III. Досуг. С кем из студентов вашей группы вы предпочли бы пойти в турпоход?

1. ________________ 2. ________________ 3. ________________
В опросном листе следует сделать необходимое число выборов (или меньше этого числа). Существует параметрический и непараметрический вариант проведения исследования. В случае параметрического варианта проведения процедуры, при определении количества выборов рекомендуется пользоваться следующим соотношением.

Число членов группы	5 - 7	8 - 11	12 - 16	17 - 21	22 - 26	27 - 31	32 – 36
Количество выборов	1	2	3	4	5	6	7

Возможен также непараметрический вариант проведения социометрии, когда каждый член группы может сделать столько выборов, сколько считает необходимым. В нашем примере будет рассмотрен именно вариант непараметрической социометрии – без ограничения количества выборов.

Выбор одного и того же сокурсника может повторяться в разных сферах деятельности. В нашем примере предусмотрены только положительные выборы. Но при работе с космонавтами, подводниками, сотрудниками спецподразделений и т. п., допускается использование и отрицательных выборов (отвержений).

кого кто	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Σ сделанных выборов	Е_i
1. Иванов		3		1						2		3	9	0,82
2. Петрова	2			1							2		5	0,45
3. Сидоров		2								1			3	0,27
4. Кузнецов						2		1				1	4	0,36
5. Попов		1				1					2		4	0,36
6. Романов	3		1					2	1			1	8	0,73
7. Макаров			1						1		2		4	0,36
8. Сергеев					1		1						2	0,18
9. Волкова							3					1	4	0,36
10. Зайцева					1							1	2	0,18
11. Лисицин							1						1	0,09
12. Медведева	2									2			4	0,36
Σ полученных выборов	7	6	2	2	2	3	5	3	2	5	6	7	50
S_i	0,64	0,55	0,18	0,18	0,18	0,27	0,45	0,27	0,18	0,45	0,55	0,64

Данные опроса заносятся в социометрическую матрицу. В матрице каждому тестируемому отводится одна строчка по горизонтали и одна графа по вертикали. В соответствующих ячейках отмечается количество выборов и общая сумма выборов, сделанных данным респондентом. Клетки по диагонали заштриховываются, так как самовыборы исключаются. Здесь дан пример социоматрицы для группы из 12 человек.

Следующий этап – составление социограммы, дающей наглядное раскрытие структуры взаимосвязей в коллективе. Все испытуемые делятся по сумме полученных выборов на несколько страт. Получившие большинство выборов относятся к так называемой группе «звезд», а получившие мало выборов относятся к «отвергаемым». Границы верхней и нижней страт расчитываются по следующей формуле:

х – границы доверительного интервала;

- среднее количество выборов, приходящихся на одного человека;

- выборочное отклонение;

t – поправочный коэффициент, учитывающий отличие эмпирического распределения от теоретического (определяется по таблице Сальвоса, данной в приложении).

Для определения этих величин надо также произвести дополнительные вычисления.

где V- общее количество выборов, сделанных всеми членами группы, а N – число членов группы.

где – оценка вероятности быть выбранным в данной группе.

где - оценка вероятности оказаться отвергнутым в данной группе.

где - отклонение количества полученных индивидами выборов от среднего их числа, приходящегося на одного члена группы;

, где - степень отклонения распределения выборов от случайного.

Далее иллюстрируется процедура расчетов.

В нашем случае V = 50, N = 12.

Следующий этап – определение величины t отдельно для правой и левой частей распределения. В левой части таблицы приведены значения для нижней границы доверительного интервала, а в правой – для верхней. Для обеих границ (верхней и нижней) значения даны для трех различных вероятностей допустимой ошибки:

p £ 0,05; p £ 0,01; p £ 0,001

Для уровня значимости p £ 0,05 поправочней коэффициенты t равны –1,62 и 1,67. Данные значения заносятся в формулу вычисления доверительных интервалов:

Таким образом, получившие 2 или менее выборов приобретают самый низший социометрический статус, а получившие 7 или более выборов - высший статус. Между «звездами», и «отвергаемыми» располагается страта «принимаемых». Допуская ошибку не более чем на 5 %, можно утверждать, что лидерами являются те, кто получил не менее 7 выборов, а низкий статус – у испытуемых, получивших менее двух выборов.

В нашем случае распределение можно провести следующим образом:

Статус	Количество полученных выборов	Фамилии
Звезды	1, 12	Иванов, Медведева
Принимаемые	6, 5, 4	Петрова, Романов, Макаров, Сергеев, Зайцева, Лисицин
Отвергаемые	2	Сидоров, Кузнецов, Попов, Волкова

В результате мы имеем информацию, необходимую для построения социограммы.

На основе информации содержащейся в матрице определяют социометрические индексы, дающие количественные характеристики отношений каждого члена группы и всей группы в целом.

S_i =	Социометрический статус члена группы (отношение группы к одному из ее членов).
E_i =	Индекс эмоциональной экспансивности (стремление члена группы сотрудничать с другими членами группы).
G =	Индекс групповой сплоченности (степень взаимосвязанности членов группы)

Вслед за этим проводится интерпретация полученных результатов.
^

Вопрос

В каком случае индекс S_i может быть отрицательным?

Задание

Провести социометрический анализ взаимоотношений в своей учебной группе.
^

Тема 12 Дисперсионный анализ

Общие принципы дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ – это анализ изменчивости признака под влиянием какого-либо фактора или совокупности факторов. Метод основан на разложении общей дисперсии (вариативности) на составляющие компоненты, сравнивая которые можно определить долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную действием на него как регулируемых, так и неучтенных в опыте факторов.

При проведении дисперсионного анализа результаты наблюдений группируются с учетом градаций влияющего фактора. Если фактор оказывает влияние на признак, средние арифметические значения результирующего признака изменяются в соответствии с градациями фактора. Внутри каждой такой группы обнаруживается своя дисперсия, связанная с действиями других факторов.

Нулевая гипотеза сводится к предположению о равенстве межгрупповых средних и дисперсий (то есть, считается, что никакого систематического действия факторов на результативный признак нет, наблюдаемые различия в групповых средних являются случайными). Для принятия-отвержения отвержения нулевой гипотезы используется таблица критических значений F-критерия Фишера. При этом применяется стандартный принцип: F_эмп ³ F_кр Þ Н₁.

Дисперсионный анализ не следует путать с факторным анализом. При помощи факторного анализа мы выделяем из множества измеряемых характеристик новые факторы, скрытые ранее. Дисперсионный анализ свидетельствует о степени влияния уже известных и выделенных факторов.

Принято выделять однофакторный и многофакторный виды дисперсионного анализа. В однофакторном анализе дисперсия разлагается на две составные части: дисперсию, связанную с изменением внутригрупповых средних значений и случайную дисперсию. В многофакторном – на ряд частей: дисперсии, обусловленные воздействием каждого фактора по отдельности; дисперсии, обусловленные воздействием парных сочетаний факторов; случайную дисперсию.

Проведение дисперсионного анализа реализовано в программах Statistica и последних версиях Excel. Однако, как показывает практика, не каждый студент умеет ими пользоваться. Поэтому в данном пособии дан конкретный алгоритм проведения как однофакторного, так и двухфакторного дисперсионного анализа.

Е.В. Сидоренко отмечает, что для проведения данного вида анализа все разряды испытуемых должны содержать одинаковое количество оптантов и результативные показатели должны подчиняться закону нормального распределения. Однако, это является хотя и желательным, но не обязательным условием

Предварительно вводятся ряд специфических обозначений:

SS_общ -общая сумма квадратов

SS_мг – межгрупповая сумма квадратов, обусловленная взаимодействием факторов.

SS_вг - внутригрупповая сумма квадратов, рассчитывается для каждого фактора.

SS_случ – сумма квадратов соответствующая случайному рассеиванию

MS – средняя сумма квадратов
^

Однофакторный дисперсионный анализ

Постановка задачи: зависит ли уровень удовлетворенности профессией у учителей от длительности работы в данной сфере деятельности? В школе были отобраны 3 группы учителей (6+6+5 человек) по одному и тому же предмету, все мужчины. Принадлежность к то или иной группе зависела от стажа работы в школе. Затем была исследована методом самоотчета степень удовлетворенности профессией (максимальный показатель = 10 баллам, минимальный – 0). Данные занесены в таблицу:

Первые 5 лет	5 – 10 лет	10 – 15 лет
5	8	6
3	9	5
6	10	9
4	9	7
7	6	8
8	7

Дальнейший этап - выдвижение гипотез.

Н_о: различия между градациями фактора достоверно не превосходят случайные различия внутри группы (то есть исследуемый фактор не влияет на результативный признак).

Н₁: различия между градациями фактора достоверно превосходят случайные различия внутри группы (то есть исследуемый фактор влияет на результативный признак).

Затем необходимо определить объем разрядов, возвести в квадрат все значения и определить общую сумму квадратов.

X₁	X₁²	X₂	X₂²	X₃	X₃²	S(X₁+X₂+X₃)
5	25	8	64	6	36	19
3	9	9	81	5	25	17
6	36	10	100	9	81	25
4	16	9	81	7	49	20
7	49	6	36	8	64	21
8	64	7	49			15
S x₁=33	S x₁²=199	S x₂=49	S x₂²=411	S x₃=35	S x₃²=255	S x_общ=117
n₁=6		n₂=6		n₃=5		N_общ=17

Теперь необходимо произвести вычисления по следующим формулам:

, где С – количество разрядов (от англ. column - колонка)

В указанные формулы подставляются соответствующие значения.

59,76

Таблицы для определения критических значений отличаются от других таблиц (столбцы не соответствуют уровням критической значимости) и составлены по другому принципу: столбцы расположены в соответствии со степенями свободы между группами, а строки – в соответствии со степенями свободы внутри групп. В связи с этим, для фиксации критических значений рекомендуется составить следующюю таблицу:

F_эмп	df _мг (числитель)	df _вг (знаменатель)	F_крит (p=0,05)	F_крит (p=0,01)
3,914	2	14	3,739	6,515

F_эмп>F_кр (р=0,05) Þ H₁ ст.зн.

Таким образом, мы можем сказать, что исследуемый фактор (стаж работы в школе) влияет на степень удовлетворенности профессией. Для ответа на вопрос о характере этого влияния необходимо определить средние арифметические значения для каждого разряда и построить график.

X₁	X₂	X₃
5	8	6
3	9	5
6	10	9
4	9	7
7	6	8
8	7
Мх₁=5,5	Мх₂=8,17	Мх₃=7

При анализе гистограммы можно увидеть, что на первом этапе удовлетворенность работой педагога низка, на отрезке 5 – 10 лет она имеет максимальные значения и в последующие 5 лет несколько снижается.
^

Двухфакторный дисперсионный анализ

Данный вид анализа позволяет оценить влияние на результативный признак воздействие двух факторов как по отдельности, так и одновременно. В предыдущем разделе выяснялось, как влияет стаж работы на удовлетворенность профессии педагога. Но может влиять не только стаж, но и другие факторы. Например, пол. Для проверки данного предположения выборка была расширена, в нее были дополнительно включены 15 женщин-учителей, имеющих соответствующий стаж. Данные представлены в таблице.

	Первые 5 лет	5 – 10 лет	10 – 15 лет
Педагоги-мужчины	5	8	6
3	9	5
6	10	9
4	9	7
7	6	8
8	7
Педагоги-женщины	5	10	9
8	9	8
4	7	8
3	7	10
7	9	7
8		9

При использовании двухфакторного дисперсионного анализа выдвигаются три комплекта гипотез.

1. Н_о: различия показателей результативного признака, обусловленные действием гендерного фактора достоверно не превосходят случайные различия между показателями.

Н₁: различия показателей результативного признака, обусловленные действием гендерного фактора достоверно превосходят случайные различия между показателями.

2. Н_о: различия показателей результативного признака, обусловленные действием фактора стажа достоверно не превосходят случайные различия между показателями.

Н₁: различия показателей результативного признака, обусловленные действием фактора стажа достоверно превосходят случайные различия между показателями.

3. Н_о: влияние гендерного фактора, на результативный признак одинаково при разных градациях фактора стажа и наоборот.

Н₁: влияние гендерного фактора, на результативный признак различно при разных градациях фактора стажа и наоборот.

Затем необходимо действовать по следующему алгоритму. Каждому из дисперсионных разрядов приписывается буквенный символ.

	Фактор стажа
Фактор пола	A	B	C
D	E	F

Таблица II Критические значения коэффициентов линейной корреляции Пирсона и ранговой корреляции Спирмена

(источник: Наследов А.Д., Тарасов С.Г. Применение математических методов в психологии)

a = 0,1

a = 0,05

a = 0,01

a = 0,1

a = 0,05

a = 0,01

0,805

0,878

0,959

0,246

0,291

0,469

0,729

0,811

0,917

0,243

0,288

0,465

0,669

0,754

0,875

0,240

0,285

0,460

0,621

0,707

0,834

0,238

0,282

0,456

0,582

0,666

0,798

0,235

0,279

0,451

0,549

0,632

0,765

0,233

0,276

0,447

0,521

0,602

0,735

0,231

0,273

0,443

0,497

0,576

0,708

0,228

0,271

0,439

0,476

0,553

0,684

0,226

0,268

0,435

0,458

0,532

0,661

0,224

0,266

0,432

0,441

0,514

0,641

0,222

0,263

0,428

0,426

0,497

0,623

0,220

0,261

0,424

0,412

0,482

0,606

0,218

0,259

0,421

0,400

0,468

0,590

0,216

0,256

0,418

0,389

0,456

0,575

0,214

0,254

0,414

0,378

0,444

0,561

0,213

0,252

0,411

0,369

0,433

0,549

0,211

0,250

0,408

0,360

0,423

0,537

0,209

0,248

0,405

0,352

0,413

0,526

0,207

0,246

0,402

0,344

0,404

0,515

0,206

0,244

0,399

0,337

0,396

0,505

0,204

0,242

0,396

0,330

0,388

0,496

0,203

0,240

⇐ Предыдущая 12

Воспользуйтесь поиском по сайту: