Задачи для самостоятельной работы

Цель занятия

На примере последовательного контура усвоить основные понятия для резонансных цепей (добротность, характеристическое сопротивление, явление резонанса, расстройки и др.); изучить свойства последовательного колебательного контура.

 

Краткие теоретические сведения

Резонанс в любой электрической цепи, содержащей L, C, R, наступает, когда частота w внешнего воздействующего сигнала совпадает с резонансной частотой w_р самой электрической цепи (w=w_Р). Резонанс в такой цепи сопровождается экстремальными значениями токов и напряжений, а также чисто активным входным сопротивлением.

Tак как для любой L, C, R -цепи

_ВХ(jw) = R_ВХ (w) + jХ_ВХ(w)_,

то на частоте w = w_р

Х_ВХ(w_р) = 0 (5.1)

 

_ВХ(jw_Р) = R_ВХ(w_Р) =R_Р (5.2)

 

Из условия (5.1) находятся резонансные частоты электрической цепи, из (5.2) - ее резонансные сопротивления.

Для последовательного контура (элементы L, C, R включены последовательно)

w_р = , R_Р = R,

где R - полное сопротивление потерь контура, включающее сопротивление потерь катушки индуктивности и конденсатора, потери на излучение, в соединительных проводах и др.

Расстройки:

абсолютная расстройка ,

относительная расстройка ,

обобщенная расстройка .

Характеристическое сопротивление r - сопротивление полной индуктивности или полной емкости на резонансной частоте при последовательном обходе контура r = C_РL = | C_РС |

;

добротность или качество контура

 

 

где 2Dw_П = 2p(2Df_П) - полоса пропускания контура.

На резонансной частоте w = w_Р:

I_Р =

U_RР = Е_ВХ ,

U_СР = QE_ВХ, U_LР = QE_ВХ,

последние соотношения определяют название последовательного резонанса как резонанса напряжений; векторные соотношения представлены на рисунке 5.1.

 

Рисунок 5.1 - Векторная диаграмма при резонансе

 

АЧХ в резонансных цепях называются резонансными кривыми:

Z_ВХ = R ,

 

,

 

,

 

. (5.3)

Включение шунта (R_Ш - сопротивление, включаемое параллельно катушке индуктивности или конденсатору) всегда снижает добротность контура, так как вносит дополнительные потери. При шунтировании емкости

R_ДОП , если R_Ш >> | C_C |,

на резонансной частоте | C_СР | = r и, следовательно, R_ДОП .

Задачи для самостоятельной работы

Задачи, представленные в этом разделе, используются для самостоятельной работы в аудитории и индивидуальных домашних заданий.

Задачи расположены в порядке возрастания их сложности. Первые восемь задач наиболее простые.

 

5.3.1 На некоторой частоте f в последовательном контуре | C_С |=220 Ом, Х_L = 178 Ом, R = 4 Ом. Является ли эта частота резонансной? Вычислить добротность контура.

Ответ: 49,5.

 

5.3.2. На резонансной частоте 1 МГц ток в последовательном контуре 200 мА, а на частотах 0,98 и 1,02 МГц ток в контуре принимает значение 142 мА. Определить добротность контура.

Ответ: 25.

 

5.3.3. Последовательный контур имеет следующие параметры: R = 50 Ом, L = 316 мкГн, С = 222 пФ, Е_ВХ = 0,1 В. Найти U_СР, U_LР, U_RР при резонансе, полосу пропускания и ток на граничных частотах полосы пропускания.

Ответ: 2.4 В; 0.1 В; 157×10³ рад/с; 1,42 мА.

 

5.3.4. К последовательному контуру подключен источник напряжения с амплитудой 0,2 В. L =300 мкГн, С = 200 пФ. Частота источника равна резонансной частоте контура. Определить амплитуду U_Сm, если полоса пропускания контура 2Df_П = 8 кГц.

Ответ: 16 В.

 

5.3.5. Определить активное сопротивление контура, если известно, что при относительной расстройке 10% контур обеспечивает ослабление сигнала в 10 раз, а r = 500 Ом.

Ответ: 10 Ом.

 

5.3.6. Последовательный колебательный контур имеет сопротивление потерь R = 5 Ом, r = 100 Ом. Какое дополнительное сопротивление следует включить в контур, чтобы увеличить его полосу пропускания на 50 %? Какое шунтирующее сопротивление даст такое же увеличение полосы пропускания?

Ответ: 2,5 Ом; 4 кОм.

 

5.3.7 Контур характеризуется параметрами L = 40 мкГн, R = 20 Ом. Определить 2Df_П и ток контура на крайних частотах полосы пропускания, если напряжение на входе контура 10 В.

Ответ: 80 кГц; 0,352 А.

 

5.3.8 Определить L и С последовательного контура, пропускающего полосу частот 10 кГц при R =5 Ом и Q = 100.

Ответ: 79,6 мкГн; 318,5 пФ

 

5.3.9 Каким сопротивлением нужно шунтировать емкость контура, чтобы его добротность уменьшилась в 4 раза? Параметры контура L =8 мкГн, С = 50 пФ, Q = 80.

Ответ: 10,7 кОм

 

5.3.10 На последовательный контур действует э.д.с. е(t) = E_mcoswt, действующее значение которой Е = 2 В; действующее значение тока I в контуре на резонансной частоте f_р =200 кГц равно 100 мА, а на частоте 202 кГц I =70,7 мА. Определить добротность и параметры L, C, R контура, а также мощность и сдвиг фаз между током и э.д.с. на обеих частотах.

Ответ: 50; 796 мкГн; 796 пФ; 20 Ом; 0,2 Вт; 0⁰; 0,1 Вт; 45⁰.

 

5.3.11 К последовательному колебательному контуру подключен источник гармонического сигнала с амплитудой 1 В и частотой 3 МГц. Контур настроен на частоту источника и имеет параметры: С =60 пФ, R =20 Ом. Определить амплитуду напряжения на емкости при расстройке Df = 18 кГц.

Ответ: 39 В.

 

5.3.12. К настроенному последовательному колебательному контуру подключен генератор напряжения е(t)=0,2 cos 10⁷t с внутренним сопротивлением 14 Ом. Индуктивность контура 100 мкГн, сопротивление потерь 6 Ом. Определить добротность контура и амплитуду напряжения на индуктивности (емкости) при резонансе и на частоте w₁=1,01×10⁷ рад/с.

Ответ: 167; 10 В; 7,07 В.

 

5.3.13. На входе последовательного колебательного контура высокой добротности действует напряжение u₁(t) = 2 соs w₀t В; w₀ = 10⁷ рад/с -резонансная частота контура. Напряжение на емкостном элементе u_c(t) = 100 cоs (w₀t-90⁰) В. Как изменится u_c(t) при увеличении емкости контура на 10%?

Ответ: 19,58 cоs(10⁷t-90⁰-78,15⁰)В.

 

5.3.14. К последовательному колебательному контуру высокой добротности приложено напряжение u(t)=0,2 cos wt В. Частота w больше резонансной частоты контура на 0,5 %, добротность контура Q =80, сопротивление потерь 20 Ом. Определить напряжение на емкостном элементе u_c(t) и мощность, потребляемую контуром.

Ответ: 12,44 cos(wt-90⁰-38,59⁰) B; 0,611 мВт.

 

5.3.15. Последовательный контур высокой добротности имеет полосу пропускания 2Dw_П=20×10³ рад/с, модуль входного сопротивления на границе полосы пропускания | Z |=14,1 Ом, емкость контура С =800 пФ. Определить R, L и добротность контура Q.

Ответ: 10 Ом; 469 мкГн; 79.

 

5.3.16. Последовательный контур состоит из катушки индуктивностью L =1,5 мГн с активным сопротивлением R_L = 10 Ом и воздушного конденсатора емкостью С = 1500 пФ; параллельно конденсатору включено сопротивление R_Ш =50 кОм. Определить полосу пропускания 2Df_П, добротность контура, а также значения тока в контуре, напряжений на индуктивности и на емкости при резонансной частоте и крайних частотах полосы пропускания. Определить сдвиг фаз между током и э.д.с. на этих частотах. Амплитуда э.д.с. равна 2В.

Ответ: 3,18 кГц; 33,3; 66,7 мА; 66,6 В; 0⁰; 47 мА; 47 В; ±45⁰.

5.3.17. Амплитуда напряжения на конденсаторе последовательного контура при резонансе, измеренная вольтметром, обладающим бесконечно большим входным сопротивлением, равна 100 В; амплитуда э.д.с., подключенной к контуру, 1 В. Сопротивление потерь контура 20 Ом. Какое напряжение покажет вольтметр с входным сопротивлением 100 кОм?

Ответ: 33,3 В.

 

5.3.18. Последовательный контур с добротностью 200 используется в качестве волномера. Определить относительную и абсолютную погрешность, получающуюся при измерении частоты 1 МГц, если индикатор резонанса волномера не реагирует на изменения тока, меньше чем 1%.

Ответ: 0,035%; 350 Гц.

5.3.19. Последовательный контур (рисунок 5.2) с добротностью Q =100 настроен в резонанс на частоту радиостанции, работающей на длине волны l_С =1271 м и наводящей в контуре э.д.с. сигнала E_С =5 мВ и ток 1_С =0,25 мА. Чему равен ток, наводимый в контуре от радиостанции, работающей на длине волны l_П =1141 м и создающей э.д.с. помехи Е_П =10 мВ? Вычислить отношение напряжения сигнала к напряжению помехи на емкости.

Ответ: 23 мкА; 12,05.

 

Рисунок 5.2 - Cхема последовательного контура, находящегося под

воздействием двух сигналов

 

5.3.20. На последовательный контур (см. рисунок 5.2) действует э.д.с. сигнала е_С(t)=0,1×cos 2p×10⁶t В и э.д.с.помехи е_П(t)=0,3×cos 2p×9,8×10⁵t B. Полоса пропускания контура 10 кГц, L =1 мГн, w_Р=w_С. Определить отношение напряжения сигнала к напряжению помехи на емкости. Рассчитать мощность, расходуемую в контуре сигналом и помехой.

Ответ: 1,36; 79,6 мкВт; 41,31 мкВт.

 

5.3.21. На последовательный контур (см.рисунок 5.2) действует э.д.с. сигнала е_С (t)=0,05 сos w_Сt В и э.д.с. помехи e_П(t)=0,1 cos w_Пt В. Отношение тока сигнала к току помехи равно 8; полоса пропускания контура 10 кГц; С =1000 пФ, L =1 мГн, w_р=w_с. Определить частоту помехи.

Указание: для удобства решения обозначить w_П = nw_С и определять n.

Ответ: 1,618×10⁶ рад/с или 0,618×10⁶ рад/с.

 

5.3.22. На последовательный колебательный контур действует э.д.с. полезного сигнала с амплитудой Е_mc =0,1 B и частотой w_С=w_Р. Емкость контура С =100 пФ. Рассчитать индуктивность и сопротивление потерь контура, если амплитуда напряжения от сигнала на емкости должна быть 10 В, а полоса пропускания контура должна равняться 15 кГц.

Ответ: 112,7 мкГн; 10,6 Ом.

 

5.3.23. В контуре (см. рисунок 5.2) действует э.д.с. сигнала e_С(t)=2 cos2p×5×10⁶t мВ и э.д.с. помехи e_П(t)=8 cos 2p×4,2×10⁶ t мВ. Рассчитать параметры контура L, C, R, если отношение напряжения сигнала к напряжению помехи на емкости должно быть равно 5, а амплитуда тока сигнала I_mc =0,2 мА. Контур настроен на частоту сигнала.

Ответ: 21,65 мкГн; 46,84 пФ; 10 Ом.

 

5.3.24. Рассчитать по данным таблицы 5.1 недостающие параметры последовательного колебательного контура, на который действуют одновременно сигнал и помеха (рисунок 5.2). Определить также параметр, указанный в таблице.

 

Таблица 5.1

 

№	ЕС , мв	wС , рад/с	ЕП , мв	wП , рад/с		L, мГн	Ic, мА		2DfП, кГц	С, пФ
		106		105		-	0,2	-	-	-
		105		2×104		-	0,1	-	-	-
	0,1	106	0,3	2×106	Опре-делить		-	-		-
		5×106	0,5	106	Опре-делить		-	-		-
	0,05	-	0,2	Опре-делить	-		-

 

 

Примечание: U_СП - напряжение на емкости, созданное помехой,

U_СС - напряжение на емкости, созданное сигналом,

I_С - ток в контуре на частоте сигнала,

I_П - ток в контуре на частоте помехи.

 

 

5.3.25. Мощность, отдаваемая источником э.д.с., питающим настроенный последовательный контур, равна 50 мВт. Амплитуда напряжения на емкости 60 В. Индуктивность контура 180 мкГн, емкость 500 пФ. Определить сопротивление потерь контура, полосу пропускания и амплитуду э.д.с.

Ответ: 10 Ом; 8,85 кГц; 1 В.

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: