Интегральные уравнения количества движения и энергии для ламинарного пограничного слоя

Нестационарная теплопроводность в полу бесконечном твердом теле.

Полубесконечным твердым телом можно считать большое тело с одной плоской поверхностью. Хорошим примером полубесконечного тела является земля. Если температура поверхности земли изменяется, тепло отводится в землю, и поскольку ее размеры можно считать бесконечными, температура зависит от расстояния от поверхности земли х и от времени т. е. в математической форме T=T(x,t). Основное уравнение для случая нестационарной теплопроводности в полубесконечном твердом теле упрощается и принимает вид

где координата х измеряется от поверхности. Начальное и
два граничных условия. Начальное условие записывается
следующим образом:Т(х, 0) = Т_о. Это означает, что в начальный момент времени t = О все полубесконечное твердое тело имеет постоянную температуру. Одно из граничных условий требует, чтобы температура материала на бесконечно большом расстоянии от поверхности оставалась постоянной по времени.

Диаграммы для решения задач нестационарной теплопроводности

Для тел простой геометрии, часто встречающихся в инженер­ной практике, были получены аналитические решения нестацио­нарного уравнения теплопроводности. Наибольшее практическое значение имеют тела трех видов:

1. Бесконечная пластина шириной 2L, для которой Т = Т (х, t), где координата х отсчитывается от средней плоско­сти пластины.

2. Бесконечно длинный сплошной цилиндр радиусом r₀, для которого Т = T(r, t).

3. Сплошной шар радиусом r₀, для которого T= T (r, t). Гра­ничные условия для всех трех тел аналогичны. Первое — это условие теплоизолированности в средней плоскости пластины, на оси цилиндра и в центре шара.

Второе граничное условие требует, чтобы тепловой поток с внешней поверхности твердого тела отводился жидкостью с тем­пературой T_∞ при коэффициенте теплоотдачи . Это граничное условие выражается математически следующим образом:

где индекс s относится к параметрам на поверхности твердого тела, а п — координата по нормали к поверхности тела.

Численные решения задач нестационарной теплопроводности

Явный метод.

Вначале твердое тело делят на ряд ячеек. В центре каждой ячейки помещают воображаемый узел. Записывая баланс энергии для каждого узла, получают алгебраическое уравнение, выражающее температуру в рассматриваемом узле через температуры в соседних узлах, геометрические характеристики и теплофизические свойства материала. При решении нестационарных задач для каждого узла нужно дополнительно учесть аккумулирование энергии в материале. Эта аккумулированная энергия представляет собой возрастание внутренней энергии в узле, которое определяется термодинамической характеристикой материала, называемой удельной теплоемкостью.

Закон сохранения энергии для узла 0, расположенного между узлами 1 и 2, при отсутствии внутреннего тепловыделения можно выразить в виде: В нестационарной задаче учитывается скорость изменения внутренней энергии.

Уравнения сохранении массы, количества движения и энергии при ламинарном обтекании плоской пластины

уравнение сохранения массы

уравнение количества движения

 

 

уравнение сохранения энергии

 

 

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Приводимый ниже интегральный подход позволяет избавиться от проблем, возникающих при решении дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных производных. Рассмотрим элементарный объем, который начинается на стенке и простирается в направлении оси у, выходя за пределы пограничного слоя. Причем он имеет толщину dx в направлении оси х и единичную ширину в направлении оси г. Для получения зависимостей для результирующего количества движения и результирующего количества энергии, вносимых в объем, поступим таким же образом, как и при выводе уравнений пограничного слоя в предыдущем разделе.

количество движения

 

интегральное уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя.

 

69. Расчет коэффициентов теплоотдачи и трения в ламинарном по­токе

Первым шагом в приближенном интегральном методе расчета является представление распределений скоростей и температур в виде степенных рядов — полиномов. При выборе коэффициентов этих рядов должны удовлетворяться граничные условия. Предположим, что распределение скоростей описывается степенным рядом из четырех членов:

Выбор коэффициентов проводим с использованием следующих
граничных условий: при у= 0:u = 0 и поэтому а = 0,u = v = 0, и поэтому из уравнения получаем
Эти граничные условия позволяют получить четыре уравнения для расчета четырех неизвестных коэффициентов в зависимости от скорости невозмущенного потока и толщины пограничного слоя

Число Нуссельта

70.Аналогия между теплообменом и переносом количества движе­ния при турбулентном обтекании плоской пластины

Общий поток тепла, который переносится через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению средней скорости потока, можно записать в виде

Молекулярная теплопроводность + Турбулентный теплоперенос

А= Площадь Площадь

Эта зависимость впервые была предложена в 1874 г. английским ученым О. Рейнольдсом и называется аналогией Рейнольдса. Для турбулентного течения она вполне удовлетворительно описывает экспериментальные результаты и может применяться как к турбулентным пограничным слоям, так и к турбулентному течению в трубах или каналах. Однако аналогия Рейнольдса не подходит для ламинарного подслоя. Так как этот слой оказывает значительное термическое сопротивление тепловому потоку, то уравнение в целом не пригодно для получения количественных результатов. Лишь для жидкостей, у которых число Прандтля равно единице, его можно использовать непосредственно для расчета плотности теплового потока.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: