 |
Лемниската Бернулли
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е 13. Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus – украшенный лентами) – в ДПСК плоская алгебраическая кривая 4-го порядка (рис. 9).
Произведение расстояний каждой точки М лемнискаты Бернулли до двух данных точек 
и 
(фокусов) равно квадрату половины расстояния между и 
Кривая симметрична относительно осей и начала координат. Впервые была рассмотрена Я. Бернулли (1694).
Случаи расположения лемнискаты в ПСК приведены в табл. 4.
Т а б л и ц а 4
Расположение лемнискаты в ПСК
| Уравнение в ДПСК | Уравнение в ПСК | Рисунок в ПСК |
|
| 
|
|
|  
|
Правило построения кривых в полярной системе координат
Построение кривых в ПСК 
можно осуществлять по точкам следующим образом.
1. Найти пределы изменения полярного угла, решая неравенство 
(так как 
– расстояние, величина всегда неотрицательная). При его решении пользуемся данными табл. 5.
Если функция периодическая, то необходимо выбрать главные значения углов 
или 
(удобные для конкретного примера). Если функция непериодическая, то 
.
3. Составить таблицу значений и 
: будем давать значения полярному углу через произвольный промежуток 
и вычислять соответствующее значение , подставляя значения в функцию .
4. По таблице построить точки с полученными координатами 
.
5. Соединить полученные точки плавной линией. Получим искомую кривую.
Т а б л и ц а 5
Частные случаи решения основных тригонометрических неравенств
| Частный случай | Решение | Частный случай | Решение |
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
|
|
| 
| 
|
|
| 
| 
|
3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Варианты типового расчета «Полярная система координат»
(задания 1 – 5)
|
|
|
З а д а н и е 1. В ПСК заданы точки 
(табл. 6): 1) построить точки в ПСК; 2) найти координаты данных точек в ДПСК.
Т а б л и ц а 6
Данные к заданию 1
| Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек |
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
О к о н ч а н и е т а б л. 6
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
З а д а н и е 2. Заданы координаты точек 
в ДПСК (табл. 7): 1) найти полярные координаты ; 2) построить точки в ПСК и ДПСК, совместив эти системы координат.
Т а б л и ц а 7
Данные к заданию 2
| Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек | Вариант | Координаты точек |
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
| |||
| 
| 
|
З а д а н и е 3. Даны уравнения кривых в ДПСК 
(табл. 8): 1) записать уравнения данных кривых в ПСК; 2) построить кривые в ПСК.
Т а б л и ц а 8
Данные к заданию 3
| Вариант | Уравнения кривых | Вариант | Уравнения кривых |
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б) 
|
О к о н ч а н и е т а б л. 8
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
| ||
а)  ;
б)  .
| а)  ;
б)  .
|
З а д а н и е 4. Даны уравнения кривых в ПСК 
(табл. 9): 1) построить кривую в ПСК; 2) записать уравнение данной кривой в ДПСК.
|
|
|
Т а б л и ц а 9
Данные к заданию 4
| Вари-ант | Уравнения кривых | Вари- ант | Уравнения кривых | Вари-ант | Уравнения кривых |
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
|
О к о н ч а н и е т а б л. 9
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а) ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в)
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в)
| |||
а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
| а)  ;
б)  ;
в) 
|
З а д а н и е 5. Даны уравнения кривых в ДПСК и ПСК (табл. 10). Построить кривую в ПСК.
Т а б л и ц а 10
Данные к заданию 5
| Вариант | Уравнения кривых | Вариант | Уравнения кривых | |
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ; б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| |||
а)  ;
б) 
| а)  ; б) 
| |||
О к о н ч а н и е т а б л. 10
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| ||
а) ;
б) 
| а)  ;
б) 
| ||
а)  ;
б) 
| а)  ;
б) 
| ||
а)  ; б) 
| а)  ;
б) 
| ||
а)  ; б) 
| а)  ;
б)
|
|
|
|
