Математическое ожидание дискретного распределения
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Испытания Бернулли Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу. Формулировка Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где . [Доказательство Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью . Обозначим — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле: . При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей: . Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: , где . Схема испытаний Бернулли Пусть один и тот же опыт повторяется п раз, испытания независимы, в результате каждого испытания может наступить или нет событие А. Пусть Р(А) = р — вероятность наступления А, тогда = q = 1 - р. Такая схема испытаний называется схемой Бернулли. Найдем вероятность того, что событие А произойдет при n испытаниях m раз.
Пространство элементарных событий состоит из произведений п событий А или Событие В, состоящее в том, что событие А произойдет при п испытаниях т раз, включает те в которых А содержится раз, их По формуле (34.7) поэтому по (34.3) Формула (34.10) называется формулой Бернулли. Пример: Найти вероятность того, что четырехзначный номер первого встречного автомобиля содержит две цифры 5. Так как = 4 (число цифр в номере), = 2, событие А — данная цифра номера 5, — не 5, Р(А) = 1/10, = 9/10, то = 6 · 0,01· 0,81 = 0,0486 При больших значениях подсчет проводится по при- ближенной формуле (локальная теорема Лапласа) Если велико, а то применяют приближенную формулу Пуассона:
6 5. Математическое ожидание дискретной величины, его свойства
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ [ mathematical expectation ] Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M (X) = x 1 p 1+ x 2 p 2+...+ xn pn.
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, отангл. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение
Определение Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существуетинтеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или . Дискретные распределения Определение 3. Случайная величина называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть , где — разбиение . Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: . Введя обозначение , можно задать функцию . Очевидно, что . Используя счётную аддитивность , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение . Определение 4. Функция , где часто называется дискретным распределением. Пример 1. Пусть функция задана таким образом, что и . Эта функция задаёт распределение случайной величины такой, что (распределение Бернулли). Теорема 3. Дискретное распределение обладает следующими свойствами: 1. ; 2. . Математическое ожидание дискретного распределения § Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение , то прямо из определения интеграла Лебега следует, что .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|