Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краевые задачи теории диффузии




Дифференциальное уравнение диффузии, выведенное на основе общих законов физики, устанавливает связь между временным и пространственным изменением концентрации в любой точке тела, в которой происходит диффузионный процесс. Дифференциальное уравнение диффузии имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать решение, характеризующее конкретный рассматриваемый процесс, и дать полное математическое описание процесса, необходимо к основному дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия, включающие геометрические, физические и краевые условия.

Геометрические условия определяют форму и линейные размеры тела.

Физические условия определяют физические параметры: коэффициент диффузии,

константу растворимости, объемную плотность потока диффузанта.

Краевыми условиями называют совокупность начального и граничного условий. Начальные условия задаются только при изучении нестационарных процессов и состоят в задании распределения концентрации внутри тела в момент времени, выбранный за начальный. Граничные условия отображают условия диффузионного взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела.

Граничные условия для изучаемой задачи могут быть заданы несколькими способами; в теории диффузии различают граничные условия I, II, III, IV родов. (Граничные условия IV рода иначе называют условиями сопряжения). Следует помнить, что число граничных условий превышает число границ. Так, в задаче по дегазации шарика (одномерный случай), необходимо задать условия как на внешней поверхности шарика, так и в центре. Часто граничные условия задаются «на бесконечности».

Граничные условия 1-го рода

В граничных условиях I – рода задается распределения концентрации диффузанта по поверхности Σ тела, как функция координат и времени.

C Σ =ϕ(x, y, z, t). (33)

В частном случае концентрация на поверхности – функция только времени

C Σ = ϕ(t)

При наличии двух плоскостей (как это имеет место в методе газопроницаемости) задаются

две функции изменения концентрации диффузанта на входе в образец (например, пластину толщиной Н). Тогда граничные условия первого рода принимают вид:

С(0,t)=φ1(t); С(H,t)=φ2(t).


Подобный режим в теории диффузии обозначается как граничная задача I-I.

В более простом случае – концентрация постоянна (условие Дирихле).

C Σ (τ) = C 0 = const.

Если концентрация на границе в процессе эксперимента поддерживается равной нулю, то

вводится понятие поглощающей стенки.

C Σ = 0.

Типичным примером, в котором на различных границах поддерживаются различные

варианты граничных условий первого рода, является случай проницаемости плоской мембраны толщиной Н. Здесь С(0,t)=C0, C(H,t)=0.

Условия 2-го рода

В условиях II – рода задается распределение плотности потока диффузанта для каждой точки поверхности как функция координат и времени


j = − DC

Σ ∂ n Σ


= ϕ(x, y, z, t), (34)


 

где n - внутренняя нормаль к поверхности Σ.


Общий случай:


j Σ (τ) =


f (τ).


Частный случай:


j Σ (τ) =


jc = const


Если поток за поверхности зависит от координаты, но не зависит от времени, граничное условие называется условием Неймана.

Важным частным случаем является отражающая стенка (отсутствие потока через внешние


поверхности образца – условие диффузионной изоляции):


j = 0.


В последнем случае граничная поверхность изолирована (диффузия через нее невозможна,

поток диффузанта через такую границу равен нулю).

Если образец имеет две границы (например, тонкая пластина), то в зависимости от условий на его внешних поверхностях различают граничные задачи II-II, I-II и II-I.

В центре шарика (сферы) поток отсутствует, следовательно, в центре – граничное условие

II-го рода (на поверхности I-го рода).

4.3 Условия 3-го рода

В граничных условиях III – рода задают закон конвективного массообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Общий случай:


 

Упругая стенка:


C + hC

n Σ

C


= ϕ(t). (35)


j Σ = − Dn


= ± ks (C Σ − Cc); (36)

Σ


где C Σ


– концентрация на поверхности; Cc


– концентрация примеси в окружающей среде, ks –


коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность концентрационного взаимодействия среды с заданной концентрацией диффузанта Сс с поверхностью тела. В нестационарных процессах концентрация диффузанта в окружающей среде в общем случае изменяется во времени.

В этом случае на поверхности тела задается плотность потока диффузанта, возникающего из-за разности концентраций диффузанта на поверхности тела и в окружающей среде.

Ур.36 является аналитическим выражением граничного условия III рода, которое широко применяется при аналитических исследованиях массо-переноса в твердых телах, обтекаемых потоками жидкости или газа на границе между телом и флюидом.


Уравнение для упругой стенки полностью идентично уравнению Ньютона для теплообмена лучеиспусканием. Оно подразумевает, что концентрация не мгновенно устанавливается на поверхности, а в процессе некоторого времени, т.е. граница оказывает сопротивление диффузионному потоку (иногда более сильное, чем собственно диффузия). В этом случае поток не является постоянным, а изменяется как разность между концентрациями в твердом теле и в окружающем объеме.

Приведем вывод выражения для упругой стенки.

При справедливости закона Генри можно записать следующие выражения для потоков на поверхности твердого тела:


j 1 = − k 1 C 1 x =0 →


поток газа из твердого тела;


j 2 = k 2 p


поток из газа в твердое тело,


где k 1 – константа дегазации; k 2 – константа насыщения.


Если бы установилось равновесие, то


j 1 =


j 2.


В нашем случае равновесия нет и

Внешний поток: k 2 pk 1 C x =0 =


j 1 ≠

jвнеш.


j 2.


 

Внутренний поток:


j = − DC

внутx


 

.

x =0


jвнут =

Тогда:


jвнеш – т.к. нет накопления примеси на поверхности раздела фаз.


DC

x


 

x =0


= k 2 p


k 1 C


x =0


 

или


DC

x


 

x =0


= k 1(C


x =0


K p


p),


где


Kp = k 2 k 1.


Мы получили выражение, идентичное общему случаю.

Действительно:


C − ⎜ k 1 ⎟ C


k 1 K p

= −


p = const = ϕ(t);


Chc = ϕ(t).


∂ ⎛ ⎞

x D 0 Dx

⎝ ⎠ −→ h

Граничные условия III-го рода представляют собой общий случай. Из него может быть

получены выражения для условий I-го и II-го рода.


 

При k


→ ∞,


D ⎟ ⋅


C = CK


p → 0,


 

т. е. C


= K p


 

– условие I-го рода (закон


⎛ ⎞

1 ⎝ k ⎠−→0 ∂ x 0 p 0 p

Генри). При k = 0, граничное условие II-го рода.

При сорбции C x =0< Cравн, при дегазации C x =0> Cравн.

Граничные условия 3-го рода можно разделить на три категории: 1) Линейные; 2)

Нелинейные; 3) Нестационарные. Следует отметить, что наличие на поверхности (поверхностях) образца сложных химических процессов, в том числе - сопровождающихся выделением или поглощением тепла, приводит к граничным условиям 3-го рода весьма сложного вида.

В общем виде, при исследовании процессов диффузии в двустороннем образце возможно возникновение различных граничных задач: I-I, II-II, III-III, I-II, II-I, I-III, III-I, II-III, III-II, что может существенно затруднить обработку и интерпретацию данных диффузионных экспериментов.


К счастью, на практике часто встречаются согласованные (однородные нулевые)

граничные условия:

C Σ = 0 – поглощающая стенка;


C

n Σ


= 0 – отражающая стенка;


C + hC

n Σ


= 0 – упругая стенка.


В первой части Курса лекций мы будем оперировать именно ими.

Условия 4-го рода

Граничные условия сопряжения (IV–рода) соответствуют массообмену поверхности тела с окружающей средой или массообмену соприкасающихся твердых тел, когда концентрация на соприкасающихся поверхностях одинакова (в случае газообразного диффузанта подчиняется закону Генри). Задаются они в виде

Кр1С1=Кр2С2 (37а)


DC 1

1 ∂ n


 

x


= − D 2


C 2

n


 

x


 

(37б)


где Кр1 и Кр2 – константы растворимости, а D1 и D2 – коэффициенты диффузии диффузанта в


 

соприкасающихся средах 1 и 2, соответственно.

 

к поверхности раздела.


∂ означает дифференцирование вдоль нормали

n


Первое равенство выражает условие непрерывности концентрационного поля, а второе – закон сохранения энергии на поверхности соприкосновения двух сред (или тел) - Потоки на границе должны быть равны друг другу.

В отличие от случая теплопроводности где разрыва температуры на границе раздела фаз нет, в диффузии на границе раздела твердых тел возможны разрывы концентраций. Лишь в частном случае, при равенстве констант растворимости диффузанта в обеих фазах (при


Kp 1 = K p 2), то в точке


x = 0,


C 1 = C 2 и разрыва в концентрационном поле на границе фаз нет.


 

 
Рис.2 Разрывы концентраций диффузанта на границе раздела фаз при реализации граничных условий 4-го рода


Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...