 |
направления подготовки «Землеустройство и геодезия» (за 1-ый курс)
|
|
|
|
Вопросы к экзамену по высшей математике для студентов
1. Определение матрицы, виды матриц, действия над ними.
2. Определители 2-го и 3-го порядка, их вычисление и свойства.
3. Теоремы Лапласа о разложении и псевдоразложении определителей n-го порядка.
4. Обратная матрица, алгоритм ее вычисления и теорема о существовании, решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. 
5. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
6. Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.
7. Определение ранга матрицы, свойства, теоремы о ранге матрицы, линейная зависимость и независимость векторов.
8. Исследование неоднородных систем линейных алгебраических уравнений: основные определения, теорема Кронекера - Капелли.
9. Исследование однородных систем линейных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений.
10. Метод координат. Различные виды уравнения прямой на плоскости.
11. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
12. Деление отрезка в заданном отношении 
.
13. Определение вектора в пространстве, основные понятия, действия над векторами, проекция вектора на ось, разложение вектора по ортам, направляющие косинусы.
14. Скалярное произведение векторов в пространстве, геометрический и физический смысл, свойства, теоремы.
15. Векторное произведение векторов в пространстве, геометрический и физический смысл, свойства, теоремы.
16. Смешанное произведение трех векторов в пространстве, геометрический смысл, свойства, теоремы.
17. Плоскость в пространстве, виды ее уравнений, частные случаи общего уравнения плоскости. Нормальное уравнение плоскости.
18. Прямая в пространстве, виды ее уравнения, преобразование общего уравнения прямой к каноническому виду.
|
|
|
19. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.
20. Расстояние от точки до плоскости.
21. Каноническое уравнение эллипса, его основные характеристики, чертеж.
22. Эксцентриситет и директрисы эллипса, чертеж.
23. Окружность как частный случай эллипса.
24. Каноническое уравнение гиперболы, ее чертеж.
25. Эксцентриситет и асимптоты гиперболы.
26. Каноническое уравнение параболы (4 случая), основные характеристики, ее чертеж.
27. Определение кривых второго порядка через эксцентриситет.
28. Кривые второго порядка как конические сечения.
29. Преобразование координат. Параллельный перенос осей координат.
30. 29. Преобразование координат. Поворот плоскости, матрица поворота.
31. 30. Исследование общего уравнения второй степени (все частные случаи).
32. 31.Полярная система координат. Полярные кривые (с двумя примерами).
33. 32. Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат.
34. 33. Поверхности второго порядка (их уравнения и изображение в пространстве).
35. 34.Функция одной вещественной переменной. Основные понятия, способы задания функции.
36. 35.Основные функциональные зависимости (линейная, обратная пропорциональность, показательная, логарифмическая, степенная, 
, 
, синусоидальная).
37. 36.Основные геометрические принципы построения графиков функций.
37. Определение предела функции в точке (по Коши), односторонние пределы функции в точке, классификация точек разрыва, определение непрерывности функции в точке.
38. Предел дробно-рациональных функций на бесконечности.
39. Раскрытие неопределенности 
от дробно-рациональных и иррациональных выражений.
40. Первый замечательный предел.
41. Второй замечательный предел: две формы его записи, примеры.
42. Свойства непрерывных функций (теоремы Вейерштрасса).
43. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.
|
|
|
44. Производные основных элементарных функций (с выводом).
45. Производные основных тригонометрических функций (с выводом).
46. Теорема об обратном дифференцировании. Производные обратных тригонометрических функций.
47. Теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
48. Производная суммы функций.
49. Производная произведения двух функций.
50. Производная частного двух функций.
51. Теорема о дифференцировании сложной функции (с доказательством и примерами).
52. Логарифмическое дифференцирование (с примерами).
53. Неявное и параметрическое дифференцирование (с примерами).
54. Теорема Ферма о нулях производной.
55. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.
56. Теорема Лагранжа о конечных приращениях, ее геометрический и механический смысл. Следствие из теоремы Лагранжа.
57. Обобщенная теорема Коши о среднем.
58. Теорема Лопиталя-Бернулли (с примерами и доказательством).
59. Дифференциал функции и его инвариантность. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
60. Производные и дифференциалы высших порядков.
61. Определение выпуклости и вогнутости кривой, достаточное условие (с доказательством).
62. Исследование функции с помощью второй производной, точки перегиба.
63. Асимптотическое поведение функции.
64. Общая схема исследования функции для построения графика.
65. Простейшие задачи безусловной оптимизации.
66. Дифференциал длины дуги.
67. Понятие кривизны кривой, вычисление кривизны кривой в точке, центр и радиус кривизны, эволюта и эвольвента.
68. Кривизна кривой, заданной параметрически и в полярной системе координат.
69. Формула Тейлора и Маклорена для интерполирования функций многочленами.
70. Понятие неопределенного интеграла. Теорема о двух различных первообразных функции.
71. Таблица неопределенных интегралов (с проверкой). Примеры.
72. Свойства неопределенных интегралов.
73. Непосредственное (табличное) интегрирование. Примеры.
74. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры.
75. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Примеры.
76. Возвращение к исходному интегралу. Пример.
77. Интегрирование дробей, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
|
|
|
78. Интегрирование простейших рациональных дробей.
79. Общее правило интегрирования рациональной дроби. Пример.
80. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Пример.
81. Тригонометрические подстановки для интегрирования некоторых иррациональностей. Примеры.
82. Универсальная тригонометрическая подстановка. Пример.
83. Интегрирование тригонометрических выражений (без УТП). Пример.
84. Понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм, его основные свойства.
85. Интеграл с переменным верхним пределом.
86. Теорема Ньютона-Лейбница. Пример.
87. Основные методы определенного интегрирования.
88. Несобственный интеграл 1-го рода с бесконечным промежутком интегрирования. Пример.
89. Несобственный интеграл 2-го рода от разрывной функции. Пример.
90. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах. Пример.
91. Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
92. Вычисление площадей бесконечных плоских фигур и объемов бесконечных тел вращения. Пример.
93. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах. Пример.
94. Длина дуги плоской кривой. Пример.
95. Вычисление площади поверхности фигур вращения с помощью определенного интеграла.
96. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой. 1 теорема Гульдена.
97. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. 2 теорема Гульдена.
98. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников, формула трапеций.
99. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула парабол (Симпсона).
100. Понятие о сферическом треугольнике
101. Стороны и углы сопряженного треугольника
102. Полярный сферический треугольник и его свойства
103. Соотношение между углами сферического треугольника
104. Понятие о симметричных сферических треугольниках
105. Соотношения между сторонами и углами сферического треугольника
106. Описанные около сферического треугольника и вписанные в него круги.
107. В чем заключается отличие между понятиями. Равные и симметричные треугольники?
|
|
|
108. Формулы косинуса стороны
109. Формулы синусов
110. Формула из пяти элементов
111. Формулы косинуса угла
112. Формулы, обратные формулам косинуса стороны
113. (формулы косинуса угла)
114. Формулы четырех элементов (с котангенсами)
115. Перечислите элементы сферического треугольника, которые могут входить в формулы выражающие зависимость между одной из сторон и тремя углами.
116. Сферическая теорема Пифагора
117. Синус катета в функции гипотенузы и противолежащего угла
118. Что такое сферическое расстояние между двумя точками на сфере в градусной линейной мере, как выражается длина малого круга.
119. Преобразование общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду.
120. Тангенс катета в функции гипотенузы и угла, ему прилежащего
121. Косинус гипотенузы в функции косых углов
122. Косинус угла сферического треугольника.
123. Мнемоническое правило Непера
124. Связь между величинами сторон и углов прямоугольного сферического треугольника.
125. О высоте сферического треугольника
126. Формулы, выражающие углы сферического треугольника
Рекомендованная литература
Базовая
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., «Высшая математика в упражнениях и задачах». – М.: Высшая школа, 1999.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1999.
4. Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1976.
5. Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978.
6. Привалов И.И., Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1966.
7. Под редакцией Кремера Г.И. Высшая математика для экономистов. – М.: Банки и биржи, 1998.
8. Под редакцией Кручковича Г.И. Сборник задач по курсу высшей математики – М.: Высшая школа, 1973.
Вспомогательная
1. Долгов Н.М. Высшая математика. – К.: Высшая школа, 1998.
2. Дубовик В.П., Юрик И.И. Высшая математика. – К.: Высшая школа, 1993.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 1978.
4. Зайцев И.Л. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1991.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис пресс, 2003.
6. Сидоренко-Николашина Е.Л. Высшая математика. Учебное пособие для студентов инженерно-технологических специальностей вузов. – Симферополь: СОНАТ, 2009.
7. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.
8. Пак В.В., Носенко Ю.Л., Высшая математика. – К.: Лебедь, 1996.
9. Шкіль М.І. та ін. Вища математика. – К.: Лебедь, 1994.
|
|
|
