Внутренние силы и напряжения

Под растяжением или сжатием понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рис. 2.1

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной l и площадью поперечного сечения A, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.1, а). Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0 £ z £ l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.1, б), приходим к следующему уравнению:

P + N_z = 0,

откуда следует, что

N_z = P = const.

Примем для N_z следующее правило знаков. Если N_z направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяже­ние), то она считается положительной. В обратном случае - отри­цательной.

Нормальная сила N_z приложена в центре тяжести сечения, яв­ляется равнодействующей внутренних сил в сечении и, в соответст­вии с этим, определяется следующим образом:

Но из этой формулы нельзя найти закон распределения нор­мальных s напряжений в поперечных сечениях стержня.

Если на боковую поверхность этого стержня нанести прямо­угольную сетку (рис. 2.1, б), то после нагружения поперечные ли­нии, а - а, b - b и т.д. переместятся параллельно самим себе, откуда следует, что все поверхностные продольные волокна удлинятся одинаково. Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что по­перечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Даниилом Бернулли (1700-1782), гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.

Значит, все продольные волокна стержня находятся в одина­ковых условиях, а, следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть одинаковыми и рав­ными

где A - площадь поперечного сечения стержня.

Высказанное предположение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо для участков, достаточно удаленных от мест резкого изменения пло­щади поперечного сечения (рис. 3.1, в). Основанием для такого утверждения служит принцип Сен - Венана, справедливый для любого типа напря­женного состояния.

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 3.2). До нагружения стержня его длина равнялась l - после нагружения она стала равной l + D l (рис. 3.2). Величину D l называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация e остается одной и той же по длине стержня и равной

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной d z (рис. 2.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину D d z и его деформация составит:

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в виде:

Из совместного рассмотрения уравнений (2.2) и (2.3) получим:

откуда с учетом (2.1) и того, что

окончательно получим:

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.5) получим

Величина – характеризуют жесткость стержня (Н/м).

Зная нагрузку и материал можно определить площадь поперечного сечения выбранного стержня, способного выдержать прилагаемую нагрузку:

где [σ] – допускаемое напряжение.

Предыдущая12345678910111213Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: