 |
Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)
|
|
|
|
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
Условные обозначения: ]А; Ā; not А.
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
| А | Ā |
Физический аналог:
| Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания. |
Примеры
1. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно.
2. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.
Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→В.
Таблица истинности:
| А | В | Если А, то В |
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Пример:
Рассмотрим два высказывания: А {х делится на 9}, В {х делится на 3}. Операция А -» В означает следующее: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3». Рассмотрим возможные варианты:
· А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Например, х = 4, 17, 22.
· А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Например, х = 6, 12, 21.
· А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3.
· А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Например, х = 9, 18, 27.
|
|
|
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Применяемое обозначение: А ~ В.
Таблица истинности:
| А | В | А~В |
Пример
«День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом».
Составление таблиц истинности по логической формуле
Правила:
1) Дизъюнкция (логическое сложение): если среди слагаемых есть хотя бы одно истина (1), то результат не может быть ложным:
А+1 = 1.
2) Конъюнкция (логическое умножение): если среди сомножителей есть хотя бы один ложный (0), то результат ложь (0):
А•0=0.
Пример 1.
Дано логическое выражение А•В. Требуется построить таблицу истинности. Выражение содержит две операции: отрицание и конъюнкцию.
По правилам приоритетного выполнения операций сначала следует определить отрицание для всех возможных значений, которые может принимать В. Затем можно применить операцию конъюнкции для полученных значений с высказыванием А.
Построим таблицу истинности. Сначала заполним столбцы значениями для аргументов А и В. Затем заполним столбец значениями 
, Результат заданного логического выражения отражен в последнем столбце.
| А | В |
| А•
|
Пример 2.
Дано логическое выражение (А + В)С. Требуется построить таблицу истинности.
Логическое выражение содержит три высказывания А, В, С. Значит, таблица истинности будет содержать 23= 8 строк возможных сочетаний значений исходных высказываний (аргументов) А, В и С. Первые три столбца таблицы истинности будут заполнены различными сочетаниями значений аргументов. Далее будут располагаться результаты промежуточных вычислений и конечный результат.
|
|
|
| А | В | С |
| А +
| (А + )С
| |
Домашнее задание
А+В;
(А+В)С.
(А + В)С.
(А+В) В;
А+АВ+СВ;
(А+В)(А + В)С.
Некоторые законы булевой алгебры
Существуют законы (аксиомы), позволяющие преобразовывать зложные логические выражения с целью их упрощения.
Основные законы булевой алгебры
|
|
|
