 |
Нахождение оригинала по изображению
|
|
|
|
При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы:
1. Использование обратного преобразования Лапласа
, (4.35)
которое представляет собой решение интегрального уравнения (4.27) относительно неизвестной функции f (t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (4.35) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F (p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется.
2. Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.
3. Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения.
Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.
Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от операторного изображения искомой величины:
|
|
|
1) 
· = · 
, (4.31)
где n – порядок цепи,
pi – простые корни характеристического уравнения N (p) = 0;
.
2) 
· = · 
, (4.32)
где pi – корни характеристического уравнения F 3(p) = 0.
В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (4.32) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.
Если уравнение F 2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни 
и 
, то достаточно вычислить слагаемое сумм (4.31) или (4.32) только для корня , а для корня взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.
· = · 
(4.33)
или
· = · 
. (4.34)
Если среди корней многочлена F 2(p) = 0 есть q простых корней (p 1, p 2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):
· = · 
(4.35)
Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ¥) значения оригинала, т.е. f (0+) и f (¥), то можно воспользоваться формулами (4.31) и (4.32). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:
(4.36)
и
. (4.37)
Рассмотрим специфические особенности применения метода.
Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC –цепи на постоянное напряжение (рис. 4.26, а). Определим закон изменения 
в переходном режиме.
Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 4.26, б.
Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:
Изображение тока в операторной схеме замещения
 |
Для отыскания
воспользуемся теоремой разложения:
· = · 
.
Используя предельные соотношения, определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:
|
|
|
Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения в переходном режиме
и
.
Пример 2. Найти напряжение на емкости в цепи (рис. 4.27), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементов электрической цепи приведены на рисунке.
1. Анализ независимых начальных условий (докоммутационный режим)
2. Эквивалентная операторная схема представлена на рис. 4.29.
Операторные сопротивления:
Операторные ЭДС:
3. Расчет эквивалентной операторной схемы методом узловых потенциалов:
.
После необходимых преобразований получим
.
4. Для отыскания воспользуемся теоремой разложения:
· = · 
,
здесь 
,
, 
Таким образом,
.
Окончательно
.
|
|
|
