III. Закрепление материала.

ГБОУ СПО «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»

План урока

Тема урока: Аксиомы стереометрии.

 

Цели урока:

1. Изучить аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

2. Ознакомить учащихся с некоторыми следствиями из аксиом.

3. Сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

4. Закрепить усвоение вопросов теории в процессе решения.

 

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

 

Оборудование урока: чертёжные материалы.

 

Литература:

Основная: А.В. Погорелов. Геометрия.

Дополнительная: Л.С. Атанасян. Геометрия.

 

Ход урока:

I. Организационный момент (приветствие, сообщение темы урока, постановка цели урока, сообщение этапов урока, заполнение журнала).

II. Изучение нового материала.

Основными понятиями стереометрии являются точки, прямые и плоскости, которые являются идеализациями объектов реального пространства.

Точка является идеализацией очень маленьких объектов, то есть таких, размерами которых можно пренебречь.

Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света.

Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.

Обсуждаем с учащимися вопрос о том, как точки, прямые и плоскости могут располагаться друг относительно друга.

То, что точка принадлежит прямой , обозначается то, что точка не принадлежит прямой обозначается

Эти обозначения заносим в таблицу 1 и предлагаем учащимся изобразить соответствующие ситуации на рисунке (рис. 1).

Продолжение таблицы 1

Запись	Чтение
	Точка принадлежит прямой
	Точка не принадлежит прямой
……………………	…………………………………………………………………..

Аналогично, если точка принадлежит плоскости , то пишем , если точка не принадлежит плоскости , то пишем . Делаем соответствующие записи в таблицу 1 и предлагаем учащимся изобразить соответствующие ситуации на рисунке (рис. 2).

Продолжение таблицы 1

Запись	Чтение
	Точка принадлежит плоскости
	Точка не принадлежит плоскости
……………………	…………………………………………………………………..

Если прямая лежит в плоскости , то пишем , если прямая пересекает плоскость в точке , то пишем

Учащимся предлагается модель (рис. 3). Нужно изобразить данную ситуацию и сделать соответствующие записи в таблицу 1.

Продолжение таблицы 1

Запись	Чтение
	Прямая лежит в плоскости
	Прямая не лежит в плоскости
	Прямая пересекает плоскость в точке

Замечание: Данную модель легко изготовить из куска цветного картона, проткнув его спицей.

Наконец, рассматриваем вопрос о том, как пересекаются две плоскости. Учащимся предлагается модель (рис. 4). В результате обсуждения делается вывод, что пересечением двух плоскостей является прямая. Нужно изобразить данную ситуацию и сделать соответствующую запись в таблицу 1.

Окончание таблицы 1

Запись	Чтение
	Плоскости и пересекаются по прямой

Упражнения.

1. Изобразите точку , принадлежащую прямой , и точки ей не принадлежащие. Сделайте соответствующие записи.

2. Изобразите точку , принадлежащую плоскости и точку , ей не принадлежащую. Сделайте соответствующие записи.

3. Изобразите две прямые и , лежит в плоскости , пересекает в точке , не принадлежащей прямой . Сделайте соответствующие записи.

Переходим к введению аксиом. Вспоминаем, что аксиомы геометрии, относящиеся к прямой и плоскости, изучались ранее в курсе планиметрии. «Аксиомы» в переводе с греческого означает «достойная признания». За аксиомы берутся те факты, которые принимаются без доказательства. Остальные факты доказываются с помощью аксиом и носят название теорем, следствий, свойств, признаков и т.д.

В стереометрии изучаются свойства не только плоских, но и пространственных фигур. Так же, как в планиметрии, некоторые свойства принимаются без доказательства и называются аксиомами. Помимо аксиом планиметрии, справедливых для прямых и плоскостей, формулируем аксиомы стереометрии. Вопрос к учащимся: «Какие аксиомы планиметрии вы знаете?» Ответ: I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

II. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

IV. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

VI. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

VII. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.

VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

IX. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Введение каждой аксиомы проводим в следующей последовательности:

1) Разъяснение учителем содержания аксиомы и иллюстрация этого свойства на модели.

2) Чтение формулировки аксиомы учащимися (по учебнику, специально приготовленному плакату, через кодоскоп, компьютер и т.п.).

3) Выполнение схематического чертежа.

4) Запись содержания аксиомы с помощью математической символики.

В процессе рассмотрения аксиом с классом заполняем таблицу 2.

. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и при том только одна.

Важно отметить, что если взять не 3, а 4 произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть 4 точки могут не лежать в одной плоскости.

. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Таблица 2. Аксиомы стереометрии

Аксиома	Чертёж	Запись
		не принадлежат одной прямой – единственная плоскость
		все точки прямой лежат в плоскости

Вопросы для учащихся:

1. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

При ответе на этот вопрос учащимся демонстрируется модель, изображенная на рисунке 5.

2. Точки и принадлежат плоскости . Как расположена прямая относительно плоскости

3. Возьмем прямую и не принадлежащую ей точку. Можно через них провести плоскость? Почему? Как вы думаете, сколько таких плоскостей можно провести?

4. Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли через них провести плоскость? Будет ли она единственной?

После ответов на эти вопросы мы говорим, что эти свойства являются следствиями из аксиом стереометрии, и заполняем следующую таблицу.

Таблица 3. Следствия из аксиом стереометрии

Следствие	Чертёж	Формулировка
		Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости
		Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость
		Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость

Доказательства следствий – первых теорем стереометрии – представляем с подробной записью (дано, требуется доказать).

Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.

Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

1) Пусть прямая имеет с плоскостью две общие точки - и .

2) Так как в плоскости выполняются аксиомы планиметрии, то в этой плоскости через точки и проходит единственная прямая.

3) Если бы она не совпадала с прямой то мы получили бы две прямые в пространстве, проходящие через две данные точки, а это противоречит аксиоме I. Следовательно, эти прямые совпадают, и значит, прямая лежит в плоскости .

Теорема доказана.

Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость.

Дано:

Доказать:

Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании. 2. О единственности плоскости.

а) Рассмотрим прямую и не лежащую на ней точку Докажем, что через прямую и точку проходит плоскость. Отметим на прямой две точки: и Точки не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме
через эти три точки проходит некоторая плоскость Так как две точки прямой лежат в плоскости то по аксиоме плоскость проходит через прямую

б) Единственность плоскости, проходящей через прямую и точку , следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую и точку , проходит через точки . Следовательно, эта плоскость совпадает с плоскостью , так как по аксиоме через точки проходит только одна плоскость.

Теорема доказана.

. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Формулировку учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя.

Устно разбирают доказательство, а запись выполняют дома.

Дано:

Доказать:

Доказательство: Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании. 2. О единственности плоскости. Доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 2.

а) Рассмотрим прямые и , пересекающиеся в точке . Докажем, что через эти прямые проходит плоскость. Отметим на прямой какую – нибудь точку , отличную от точки , и рассмотрим плоскость проходящую через точку и прямую Так как две точки прямой лежат в плоскости , то по аксиоме плоскость проходит через прямую Итак, плоскость проходит через прямые

б) Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые , проходит через точку Следовательно, она совпадает с плоскостью поскольку через точку и прямую проходит только одна плоскость.

Теорема доказана.

III. Закрепление материала.

1. Прочитать формулировки аксиом - и их следствий - .

2. Решаем задачи:

Задача №1: Точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые и не пересекаются.

Доказательство (методом от противного): Допустим, что и пересекаются, тогда по следствию через них можно провести плоскость и при том только одну. И в этой плоскости лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Итак, получили противоречие. Следовательно, прямые и не пересекаются, что и т.д.

Задача №2: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

Ответ: Можно. Пусть прямые пересекаются в точке и лежат в плоскости (следствие ). Тогда возьмём точку вне плоскости и рассмотрим прямую . Эта прямая и не принадлежит плоскости , а плоскость, содержащая прямые , единственная (следствие ). Значит, прямая - удовлетворяет условию задачи.

Задача №5: Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой и прямая которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые и пересекаются.

Доказательство: Пусть плоскости и пересекаются по прямой . И прямая лежит в плоскости и пересекает плоскость в точке Точка – общая точка двух плоскостей. Тогда по аксиоме точка принадлежит прямой То есть и пересекаются. Что и требовалось доказать.

Задача №6: Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие – нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.

Ответ: Если какие – нибудь три точки лежат на одной прямой, тогда через эту прямую и четвёртую точку можно провести плоскость (следствие ). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.

Задача №10: Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Доказательство: Проведем плоскость через данную прямую и точку (следствие ). Если прямая проходит через точку и пересекает прямую в точке , то прямая имеет с плоскостью две различные общие точки и , а значит, лежит в полученной плоскости (следствие Что и требовалось доказать.

Задача №11: Докажите, что если прямые и не лежат в одной плоскости, то прямые и так же не лежат в одной плоскости.

Доказательство (методом от противного): Допустим, что прямые и лежат в одной плоскости , но тогда и и лежат в той же плоскости так как имеют с ней две различные общие точки. Получаем противоречие с условием задачи. Значит, и не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Задача №12: Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните ответ.

Ответ: Четыре различных плоскости.

Плоскость задается тремя точками не лежащими на одной прямой (по аксиоме . Если точки и не лежат в одной плоскости, то все они и никакие три из них не лежат на одной прямой. Так что имеем четыре возможные тройки точек (A, C, D) и , которые определяют четыре различные плоскости.

IV. Итоги урока. Рефлексия. Разбор интересующихся детей вопросов по данной теме. Анализ и успешность достижения цели.

Закончите предложение: «На уроке я узнал…», «Теперь я могу…».

V. Домашнее задание.

1. Повторить аксиомы планиметрии.

2. Выучить аксиомы - , следствия из аксиом - .

3. Теорема 3 записать доказательство.

4. Решение задач: стр.10 №3, пункт 1, §1; стр.10 №4, пункт 1, §1.

5. Разобрать задачи: стр.6 №7, пункт 2, §1; стр.7 №9, пункт 3, §1; стр.8 №13, пункт 4, §1.

Решение задач:

Задача №3: Точки лежат на каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство: По аксиоме , так как плоскости и имеют общие точки , то плоскости и пересекаются по прямой, которая содержит эти точки. Следовательно, точки принадлежат одной прямой. Что и требовалось доказать.

Задача №4: Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения.

Доказательство: Допустим, что плоскости и пересекаются по прямой , а плоскости и - по прямой , причем прямые и пересекаются в точке Тогда, по аксиоме , точка принадлежит всем трём плоскостям , а значит, и третьей прямой пересечения плоскостей . Что и требовалось доказать.

Разобранные задачи:

Задача №7: Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.

Доказательство: Пусть – данная прямая. По аксиоме I существует точка , не лежащая на прямой . По следствию через прямую и точку можно провести плоскость, обозначим её . По аксиоме (какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей) существует точка , не лежащая в плоскости Проведем через прямую и точку плоскость Плоскости и различны, так как точка плоскости не лежит на плоскости

Задача №9: Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку лежат в одной плоскости.

Доказательство: Проведем через данные прямые плоскость . Это можно сделать по следствию . Прямая , пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью две общие точки (точки пересечения с данными прямыми). По аксиоме эта прямая должна лежать в плоскости

Задача №13: Можно ли провести плоскость через три точки, если эти точки лежат на одной прямой? Объясните ответ.

Ответ: Пусть – три точки, лежащие на прямой . Возьмем точку , не лежащую на прямой (аксиома I). Через точки можно провести плоскость (аксиома ). Эта плоскость содержит две точки прямой – точки а значит, содержит и точку этой прямой (аксиома ). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.

 

Подпись преподавателя «___»_____________ 20__год ___________

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: