Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Симметрия правильной призмы

Понятие правильного многогранника (тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр).

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Свойства.

· Все рёбра правильного многогранника равны друг другу;

· Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, равны.

Существует только пять типов правильных многогранников:

· Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

· Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Тогда сумма плоских углов при каждой вершине равна .

 

2. Теорема Эйлера.

Теорема Эйлера. Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2.

Пусто n – число рёбер каждой грани, а m – число рёбер сходящихся в каждой вершине. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то n Г=2Р. Каждое ребро содержит по две вершины, значит m В=2Р. Из последних двух равенств и теоремы Эйлера составим систему

.

Решая эту систему, получим , и .

 

Найдём число вершин, рёбер и граней правильных многогранников:

· Правильный тетраэдр (n =3, m =3)

Р=6, Г=4, В=4.

· Правильный октаэдр (n =3, m =4)

Р=12, Г=8, В=6.

· Правильный икосаэдр(n =3, m =5)

Р=30, Г=20, В=12.

· Куб(n =4, m =3)

Р=12, Г=6, В=8.

· Правильный додекаэдр(n =5, m =3)

· Р=30, Г=12, В=20.

Элементы симметрии правильных многогранников.

Рассмотрим элементы симметрий правильных многогранников.

Правильный тетраэдр

Правильный тетраэдр (рис.1) не имеет центра симметрии.

 

Рис.1

 

 

Оси симметрий тетраэдра (рис.2) проходят через середины двух противоположных рёбер, таких осей симметрий три.

Рис. 2

Рассмотрим плоскости симметрий тетраэдра (рис. 3). Плоскость α, проходящая через ребро AB перпендикулярно ребру CD, будет являться плоскостью симметрии правильного тетраэдра ABCD. Таких плоскостей симметрий шесть.

Рис. 3

Симметрия куба

1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).

Рис. 5

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).

Рис. 6

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).

2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).

Рис.8

3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).

Рис. 9

Симметрия параллелепипеда

Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).

Рис. 10

Симметрия прямой призмы

Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).

Рис. 11

Симметрия правильной призмы

1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)

Рис. 12

2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).

Рис. 13

3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).

Рис. 14

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...