 |
Систематические погрешности измерений
|
|
|
|
6.1 Классификация систематических погрешностей
Напомним, что систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Следовательно, исходя из определения, по характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.
Постоянные систематические погрешности возникают, например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке средств измерений и остаются постоянными по своему значению и знаку в течение всего времени измерений.
Переменные систематические погрешности в свою очередь делятся на прогрессирующие, периодические и изменяющиеся по сложному закону.
Прогрессирующими называются погрешности, которые в процессе измерений постепенно убывают или возрастают. Например, причинами возникновения прогрессирующих погрешностей могут быть разрядка источников питания, старение резисторов, конденсаторов, деформация механических деталей и т.п.
Периодическими называют погрешности, периодически изменяющие значение и знак. В качестве примера можно привести средства измерений с круговой шкалой, стрелка которых при измерении совершает несколько оборотов (секундомеры, индикаторы часового типа и т.п.). Периодическая погрешность в показаниях таких устройств возникает в тех случаях, когда ось вращения стрелки не совпадает с центром окружности шкалы. Другой пример - наложение гармонической помехи, источником которой является напряжение сети, на измеряемое с помощью вольтметра напряжение постоянного тока.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, могут быть выражены в виде кривой или в виде формулы. В качестве примера можно привести погрешность меры длины, возникающую при отклонении температуры от нормальной, т.е. той, при которой была определена длина меры. Эти погрешности выражаются следующей формулой: Δlt=(a·Δt+b·Δt2), где Δlt – погрешность меры длины, возникающая при изменении температуры на Δt; 1H – длина меры при нормальной температуре; Δt = tИ – tH - отклонение температуры от нормальной; tH – нормальная температура; tИ – температура при применении меры длины; а, b - коэффициенты, определенные при проведении совместных измерений.
|
|
|
Наличие систематических погрешностей устойчиво искажает результаты измерений, а отсутствие или близость их к нулю определяет правильность измерений. Таким образом, задача определения правильности измерений должна предусматривать обнаружение, оценку и уменьшение (либо полное исключение) систематических погрешностей. Те систематические погрешности, которые остались в результатах измерений после этих операций, называются неис-ключенными остатками систематических погрешностей. Например, при измерении сопротивления резистора вносится поправка на влияние температуры. Систематическая погрешность была бы полностью устранена, если бы мы точно знали температурные коэффициенты резистора и температуру. И то, и другое мы знаем с ограниченной точностью и поэтому полностью данную погрешность не устраним, останется ее неисключенный остаток. Он может быть малым или большим, это мы можем оценить, но его действительное значение остается неизвестным. Тем не менее эта остаточная погрешность имеет какое-то определенное значение, остающееся постоянным при повторных измерениях, и поэтому является систематической. Неисключенные остатки систематических погрешностей при обработке результатов наблюдений суммируются со случайными погрешностями, т.е. они переходят при суммировании в разряд случайных.
|
|
|
6.2 Способы обнаружения и оценки систематических погрешностей
Задача обнаружения и оценки систематических погрешностей относится к числу достаточно сложных метрологических задач и не всегда разрешима. Применяемые способы обнаружения и оценки систематических погрешностей можно условно разбить на две группы: теоретические и экспериментальные.
Теоретические способы возможны и эффективны тогда, когда известно или может быть получено аналитическое выражение для искомой погрешности на основании определенной информации. Характерным примером является обнаружение и оценка методических погрешностей, которые возникают при введении различных упрощений и допущений (например, методическая погрешность измерения электрического сопротивления при помощи амперметра и вольтметра, рассмотренная выше).
Экспериментальные способы также предполагают наличие определенной априорной информации об исследуемых погрешностях, но эта информация носит лишь качественный характер. Обнаружение и оценка систематических погрешностей в таких случаях возможны после проведения специальных экспериментальных исследований и обработки их результатов.
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематических погрешностей, называются неисправленными и в отличие от исправленных (не содержащих систематические погрешности) снабжены штрихами при их обозначении: x1’,…,xn’. Вычисленные в этих условиях средние арифметические значения и отклонения от них результатов наблюдений будем также называть неисправленными и ставить штрихи у символов этих величин. Таким образом,
(6.1)
Поскольку неисправленные результаты наблюдений включают в себя систематические погрешности, сумму которых для каждого i-ro наблюдения будем обозначать через Δsi, то их математическое ожидание не совпадает с истинным значением измеряемой величины и отличается от него на некоторую величину Δs, называемую систематической погрешностью среднего арифметического. Действительно,
(6.2)
Случайные отклонения результатов наблюдений от средних арифметических отличаются от неисправленных отклонений
|
|
|
(6.3)
Если систематические погрешности постоянны, т.е. Δsi = Δs, i = 1,..., n, то vi=vi' и неисправленные отклонения могут быть непосредственно использованы для оценки рассеивания ряда наблюдений. В противном случае необходимо предварительно исправить отдельные результаты наблюдений, введя в них так называемые поправки, равные систематическим погрешностям по величине и обратные по знаку:
qi=–Δsi. (6.4)
Таким образом, для нахождения исправленного среднего арифметического и оценки его рассеивания относительно истинного значения измеряемой величины необходимо обнаружить систематические погрешности и исключить их путем введения поправок или соответствующей каждому конкретному случаю организации самого измерения. Остановимся подробнее на некоторых способах обнаружения систематических погрешностей.
Постоянные систематические погрешности, определяемые при эксперименте, не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры равна искомой систематической погрешности.
Для обнаружения постоянных систематических погрешностей, зависящих от внешних влияющих величин, необходимо изменять значения этих влияющих величин. Если средние арифметические результатов наблюдений резко изменяются при изменении влияющих величин, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, зависящую от влияющих величин.
При прогрессирующей систематической погрешности последовательность неисправленных отклонений результатов наблюдений обнаруживает тенденцию к возрастанию или убыванию. Если же в ряде результатов наблюдений присутствует периодическая систематическая погрешность, то группы знаков "плюс" и "минус" в последовательности неисправленных отклонений результатов наблюдений могут периодически сменять друг друга, если, конечно, случайные погрешности меньше систематических.
|
|
|
Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика погрешности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических. Разумеется, сделанные по результатам анализа таких графиков выводы носят лишь качественный характер и объективны лишь в тех случаях, когда сопутствующие случайные погрешности значительно меньше искомой систематической.
6.3 Способы уменьшения систематических погрешностей
Так как систематические погрешности являются детерминированными величинами, уменьшение или даже полное исключение их возможно на всех этапах измерительного эксперимента. Способы исключения систематических погрешностей можно разделить на три основные группы:
устранение источников систематических погрешностей до начала измерений (профилактика систематических погрешностей);
исключение систематических погрешностей в процессе измерения с использованием специальных методов (экспериментальное исключение систематических погрешностей);
внесение известных поправок в результат измерения (исключение систематических погрешностей математическим путем).
Рассмотрим эти способы.
Устранение источников систематических погрешностей до начала измерений. Этот способ исключения систематических погрешностей является наиболее рациональным, так как он полностью или частично освобождает от необходимости устранять погрешности в процессе измерения или вычислять результат с учетом поправок. Другими словами, устранение источников систематических погрешностей существенно упрощает и ускоряет процесс измерения.
Способ может включать в себя: выбор таких методов, средств измерений, планов проведения экспериментов, которые обеспечивали бы минимальные систематические погрешности; тщательную установку нулевых показаний и калибровку средств измерений; прогрев средств измерений в течение времени, указанного в инструкции по эксплуатации; применение при сборке коротких соединительных проводов, а на сверхвысоких частотах - коаксиальных кабелей; применение в необходимых случаях экранирования и термостатирования; правильное размещение средства измерений (установка в рабочее положение, размещение вдали от источников тепла и электромагнитных полей и т.п.); применение только предварительно поверенных средств измерений и т.д.
|
|
|
Исключение систематических погрешностей в процессе измерений. Этот способ является эффективным путем исключения ряда систематических погрешностей. При этом нет необходимости применять какие-либо специальные установки и приспособления. Как правило, это методы измерений, позволяющие не только исключать систематические погрешности, но и оценить их.
Метод замещения. Этот метод измерений является одной из модификаций метода сравнения, которые рассмотрены в 3.2.
Метод компенсации погрешности по знаку. Этот метод исключения систематических погрешностей заключается в том, что измерение проводят дважды так, чтобы известная по природе, но неизвестная по размеру погрешность входила в результаты с противоположными знаками. Погрешность исключается при вычислении среднего значения. В алгебраической форме это можно выразить следующим образом.
Пусть x1 и x2 - результаты двух измерений; Δs - систематическая погрешность, природа которой известна, но неизвестно ее значение; хд - значение измеряемой величины, свободное от данной погрешности. Тогда х1 = хд + Δs; x2 = хд - Δs. Среднее значение равно
(6.5)
Этот метод применяется ограниченно. Его используют для исключения только таких погрешностей, источники которых имеют направленное действие.
Одним из характерных примеров является исключение погрешности, обусловленной влиянием магнитного поля Земли. Для этого используют средство измерений, о котором известно, что под действием магнитного поля Земли в его показаниях могут возникнуть систематические погрешности.
Первое измерение можно проводить, когда средство измерений находится в любом положении. Перед тем как выполнить второе измерение, средство измерений поворачивают в горизонтальной плоскости на 180 град. Если в первом случае магнитное поле Земли, складываясь с полем средства измерений, вызывает положительную погрешность, то при повороте его на 180 град магнитное поле Земли будет оказывать противоположное действие и вызовет отрицательную погрешность по размеру, равную первой.
Пользуясь методом компенсации погрешности по знаку, можно исключить систематические погрешности, вызванные явлениями гистерезисного характера (магнитный гистерезис в ферромагнитных материалах, механический гистерезис в упругих материалах и т.п.).
Метод изменения знака входной величины. Этот метод основан на том, что величина и знак систематической погрешности не изменяются при смене знака измеряемой величины на противоположный. Так же, как и в предыдущем методе, измерения проводятся дважды, и погрешность исключается при вычислении среднего значения разности двух показаний. В алгебраической форме это можно выразить следующим образом:
x1=xд+Δs; x2= -xд+Δs;
(6.6)
Метод, например, может применяться в компенсаторах постоянного тока для исключения погрешности от термо- и контактных э.д.с. Здесь используется то обстоятельство, что знак термо- и контактных э.д.с. не зависит от знака измеряемого и питающего напряжений.
Метод противопоставления. Этот метод имеет большое сходство с методом компенсации погрешности по знаку. Он заключается в том, что измерения проводят два раза, причем так, чтобы причина, вызывающая погрешность при первом измерении, оказала противоположное действие на результат второго.
В качестве примера может служить взвешивание на равноплечих весах (способ, предложенный Гауссом для исключения погрешности вследствие остаточной неравноплечести).
При первом взвешивании массу Мх, помещенную на одну чашку весов, уравновешивают гирями с общей массой M1, помещенными на другую чашку. Тогда
, (6.7)
где l2/l1 - действительное отношение плеч.
Затем взвешиваемую массу перемещают на ту чашку, где находились гири, а гири - на ту, где находилась масса. Так как отношение плеч l2/l1 не точно равно единице, равновесие нарушится и для уравновешивания массы Мх придется использовать гири с общей массой М2:
. (6.8)
Разделив равенство (6.7) на выражение (6.8), получим
Mx=M1·M2 (6.9)
или, если Ml и М2 лишь немногим отличаются друг от друга,
. (6.10)
Это выражение и равенство (6.5) одинаковы. Однако равенство (6.5), получаемое для метода компенсации погрешности по знаку, точно отражает сущность исключения погрешности. В данном же случае формула является приближенной.
Если сравнить оба метода в их математическом выражении, то можно обнаружить, что в способе компенсации погрешности по знаку погрешность, подмостах для измерения параметров электрических цепей, главным образом, при измерении электрического сопротивления на постоянном токе.
Метод периодических наблюдений. В случае периодических погрешностей действенным методом исключения последних является метод периодических наблюдений, основанный на наблюдениях четного числа раз через полупериоды. Периодическая погрешность изменяется по закону
Δs(t) = A·sin(2·π·t/T), (6.11)
где Т - период изменения погрешности; t - независимая переменная, от которой зависит погрешность (время, угол поворота стрелки прибора и т.п.).
Пусть при t = to значение погрешности
Δs(t0) = A·sin(2·π·t0/T).
Найдем значение этой погрешности для t = t0 + Δt, где интервал Δt такой, что Δs(t0 + Δt) = -Δs(t0). Определим значение интервала Δt. Имеем
2·π·(t0+Δt)/T=2·π·t0/T+π
откуда
2·π·Δt/T=π и Δt=T/2. (6.12)
В этом случае
[Δs(t0) + Δs(t0 + Δt)] = 0. (6.13)
Следовательно, периодическая погрешность исключается, если взять среднее из двух наблюдений, произведенных одно за другим через интервал, равный полупериоду независимой переменной t, определяющей значение периодической погрешности. То же будет и для множества пар подобного рода наблюдений.
Например, применение этого метода в цифровых вольтметрах постоянного тока с двухтактным интегрированием позволяет высокую помехозащищенность таких вольтметров, Это достигается благодаря тому, что время интегрирования измеряемого напряжения равно четному числу полупериодов помех от напряжения сети.
Метод симметричных наблюдений. Используется для исключения прогрессирующей погрешности, которая изменяется по линейному закону, например, пропорционально времени.
Такой характер имеет погрешность измерения напряжения с помощью потенциометра, если происходит заметное падение напряжения источника, создающего рабочий ток. Формально, если известно, что рабочий ток потенциометра изменяется линейно во времени, то для устранения возникающей погрешности достаточно двух наблюдений, выполненных с фиксацией времени после регулировки рабочего тока по нормальному элементу. Пусть
E1=Ux+k·t1; E2=Ux+k·t2, (6.14)
где t1 и t2 - интервалы времени между регулировкой рабочего тока и наблюдениями;
k – коэффициент пропорциональности между погрешностью измерения и временем, E1 и Е2 - результаты наблюдений.
Отсюда
. (6.15)
Однако при точных измерениях целесообразно пользоваться более сложным алгоритмом, который состоит в том, что несколько наблюдений выполняют через равные промежутки времени и затем вычисляют средние арифметические симметрично расположенных наблюдений.
Метод рандомизации. Эффективным способом уменьшения систематических погрешностей является их рандомизация, т.е. перевод в случайные. Пусть, например, имеется n однотипных приборов с систематической погрешностью одинакового происхождения. Если для данного прибора эта погрешность постоянна, то от прибора к прибору она изменяется случайным образом. Поэтому измерение одной и той же величины всеми приборами и усреднение результатов полученных наблюдений позволяют значительно уменьшить эту погрешность. Того же эффекта можно добиться, изменяя методику и условия эксперимента или те параметры, от которых не зависит значение измеряемой величины, но зависят систематические погрешности ее измерения.
Внесение известных поправок в результат измерения. Систематические погрешности являются детерминированными величинами, поэтому в принципе могут быть вычислены и исключены из результатов измерения. Для исправления результатов наблюдений их складывают с поправками, равными систематическим погрешностям по величине и обратными им по знаку:
, (6.16)
где xi, x'i - соответственно исправленный и неисправленный результаты наблюдений.
Иногда результаты наблюдений умножают на поправочные множители (η):
. (6.17)
ЛИТЕРАТУРА
1 Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии: Учеб. пособие для вузов.- М.: Изд-во стандартов, 1975.
2 Тюрин Н.И. Введение в метрологию: Учеб. пособие. - М.: Изд-во стандартов, 1985.
3 Короткое В.П., Тайц Б.А. Основы метрологии и теории точности измерительных устройств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд-во стандартов, 1978.
4 Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством: Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд-во стандартов, 1990.
5 Рабинович С.Г. Погрешности измерений. - Л.: Энергия, 1978.
6 Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985.
|
|
|
