Главная | Обратная связь
МегаЛекции

ПО КУРСОВОЙ (контрольно-курсовой) РАБОТЕ.




МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по дисциплине

 

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

 

ЧАСТЬ 3

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ МНОГОКРАТНЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Для 100 независимых числовых значений результата измерения некоторой физической величины необходимо:

- проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения;

- записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности 0,95;

- представить два варианта доверительного интервала – для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения

 

Порядок обработки результатов прямых многократных равноточных измерений

Равноточными называются измерения, у которых все значения отсчетов « « имеют одинаковую дисперсию (точность).

Обработка результатов многократных равноточных измерений производится в следующем порядке:

1. Определение оценок числовых характеристик и закона распределения вероятности результата измерения ( и – среднее арифметическое и оценка среднего квадратического отклонения измеряемой величины соответственно);

5. Исключение «грубых промахов», если таковые имеются, из результатов измерений и пересчет оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения;

6. Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерения (чаще всего проверяется гипотеза о его нормальности);

7. Представление результата измерения в виде доверительного интервала, соответствующего определенному уровню доверительной вероятности.

Определение оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерений

Числовые характеристики и определяются по формулам:

(2.1)

(2.2)

где Qi – результат i-того параллельного наблюдения (измерения);

n – число параллельных наблюдений (измерений).

При проведении расчетов числовых характеристик и других параметров всегда встает вопрос о точности их вычисления, т.е. о том с каким числом значащих цифр записывать полученные значения. При обработке результатов измерений следует руководствоваться следующими правилами:

1. Значение оценок средних квадратических отклонений и может быть определено максимум с двумя значащими цифрами, причем вторую значащую цифру следует округлять до 0 или 5. Под значащими цифрами понимается всякая отличная от нуля цифра десятичной записи числа и нуль, если он находится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Например, у приближенного числа 0,002080 подчеркнутые нули не являются значащими цифрами, т. к. они указывают только порядок числа (10–3). Остальные два нуля являются значащими цифрами, т. к. первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает, что округленное число отличается от неокругленного менее чем на ±5 единиц седьмого разряда;

2. Для предотвращения накопления погрешности промежуточных расчетов среднее квадратическое отклонение следует определять как минимум с одной запасной значащей цифрой, т.е. с 3-мя значащими цифрами, округляя его при окончательной записи до двух значащих цифр, как было указано в п. 1. Таким же образом следует поступать с любыми промежуточными данными;

3. Среднее арифметическое следует рассчитывать с таким количеством знаков после запятой, которое соответствует последней значащей цифре среднего квадратического отклонения среднего арифметического после его округления (окончательной записи). Например: если по расчетам среднее квадратическое отклонение среднего арифметического получилось =0,0273, то его следует округлить до значения =0,025, а среднее арифметическое необходимо определять до третьего знака после запятой.

В дальнейшем для построения доверительного интервала понадобится еще оценка среднего квадратического отклонения среднего ариф­метического значения :

(2.3)

Окончательное определение среднего арифметического и оценок средних квадратических отклонений самой измеряемой величины и ее среднего арифметического значения осуществляется только после исключения грубых промахов.

Исключение грубых промахов

Существует несколько способов проверки гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений. Наиболее распространенными являются: проверка наличия грубых промахов с помощью n-критерия и с помощью правила «трех сигм».

Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью n-критерия.

Этот способ применяется при малом числе измерений , если их вероятность распределена по нормальному закону. Из всех полученных значений измеряемой величины на наличие грубых промахов проверяют, как правило, минимальный и максимальный результаты. Если они не содержат грубых погрешностей, то промежуточные результаты тем более. При проверке сначала рассчитывают значения n-критерия, соответствующие максимальному и минимальному результатам измерений:

(2.4)

(2.5)

Если значение или больше критического , выбираемого из таблицы значений n при различных числах измерений n, то один или оба проверяемых результата измерений являются грубыми промахами, т.е. содержат грубые погрешности. Критическое значение выбирается, исходя из уровня доверительной вероятности Р (уровня значимости, равного 1 – Р) и числа результатов измерений n.

Грубые промахи исключаются из экспериментальных данных (отбрасываются), значения параметров и пересчитываются заново, после чего опять проводится аналогичная проверка и так до тех пор, пока все гру­бые промахи не будут отброшены. После исключения грубых промахов окончательно определяются значения и .

Примечание:

2. Индексы «min» и «max» в обозначении n-критерия говорят не о его величине, а о соответствии минимальному или максимальному значению измеряемой величины. Вполне может оказаться, что ;

8. Не обязательно рассчитывать оба критерия или и сравнивать их с табличным значением . Грубым промахом, скорее всего, будет то значение или , которое в наибольшей степени удалено от среднего значения ;

Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью правила «трех сигм»

Данный способ проверки наличия грубых промахов менее надежен, чем предыдущий и применяется, как правило, при соблюдении следующих условий:

1 Закон распределения вероятности результатов измерений соответствует нормальному;

2 Число измерений больше 25 … 30, т.е.

3 Числовые характеристики закона распределения вероятности известны достаточно точно.

Для проведения данной проверки сначала вычисляют значения и . Далее определяют допустимые значения и измеряемой величины, которые с доверительной вероятностью Р = 0,9973 еще не являются грубыми промахами:

(2.6)

(2.7)

Все значения измеряемой величины, выходящие за пределы интервала признаются грубыми промахами с вероятностью Р = 0,9973.

После отбрасывания грубых промахов необходимо пересчитать значения и и повторять проверку до тех пор, пока все грубые промахи не будут исключены из результата измерений. В дальнейших расчетах используются числовые характеристики и закона распределения вероятности, рассчитанные для результата измерений, не содержащего грубых промахов.

Выявление вида закона распределения вероятности результата измерения

При большом числе измерений для выявления вида закона распределения вероятности чаще используют универсальные критерии, с помощью которых можно проверять гипотезу о соответствии любому виду распределения. Поскольку заранее не известно, какой из возможных законов лучше описывает эмпирическое распределение вероятности результата измерения, необходимо предварительно исследовать полученный закон и уже на основании этого исследования выдвинуть гипотезу о виде распределения вероятности.

Такое предварительное исследование производят чаще всего с помощью гистограммы. По ее виду можно предположить, какой теоретический закон распределения вероятности лучше соответствует данной гистограмме, т.е. эмпирическому распределению, полученному при измерении.

Гистограмма строится следующим образом:

1 Результаты отдельных измерений располагают в вариационный ряд по возрастанию их численных значений;

2 Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений , разбивают на k желательно одинаковых интервалов DQ. При этом по возможности следует придерживаться следующих рекомендаций по выбору числа «k»:

Число измерений «n» Число интервалов «k»
40…100 100…500 500…1000 1000…10000 7…9 8…12 10…16 12…22

3 Ширину интервала DQ желательно выбирать так, чтобы с ее значением было удобно работать, т.е. округлять до возможно меньшего числа значащих цифр и так, чтобы последняя цифра равнялась бы «0» или «5».

(2.8)

При этом целесообразно определять такое количество значащих цифр в значении длины интервала ΔQ, которое не совпадает с количеством значащих цифр в результатах параллельных наблюдений. Это позволит исключить совпадение значений каких-либо результатов с границами интервалов гистограммы;

4 Начало первого интервала располагают на оси абсцисс перед минимальным значением , а конец последнего – после максимального значения ;

5 Масштаб гистограммы выбирают так, чтобы ее высота относилась бы к основанию примерно как 5 к 8;

6 Подсчитывают количество результатов , попавших в каждый интервал, и определяют высоту каждого столбца гистограммы по формуле:

; (2.9)

7 Строят саму гистограмму.

 

После выдвижения гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерений осуществляют проверку ее непротиворечивости (правдивости или правильности) с помощью какого-либо критерия согласия. Наиболее распространенным критерием является критерий Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерений принимается сумма квадратов отклонений частостей от теоретической вероятности попадания отдельного результата измерений в j-ый интервал, причем, каждое слагаемое берется с весовым коэффициентом :

, (2.10)

где критерий Пирсона;

– частость или экспериментальное значение вероятности попадания результата измерений в j-ый интервал:

; (2.11)

– теоретическая вероятность попадания результата измерений в i-ый интервал (рассчитывается или определяется по таблице с принятой гипотезой о виде закона распределения вероятности результата измерений).

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерений согласно критерию сводится к следующему:

1 Данные наблюдений группируют по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитывают частоты . Если в некоторые интервалы попадает менее пяти наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы:

, (2.12)

где k – число интервалов гистограммы после объединения.

2 Принимают величины и , рассчитанные по формулам (2.1) и (2.2) в качестве параметров теоретического закона распределения вероятности результата измерений.

3 Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений по таблице нормированного нормального распределения вероятности:

, (2.13)

где: и – значения интегральной функции нормированного нормального распределения (выбирается по таблице интегральной функции нормированного нормального распределения) в начале и конце i-го интервала соответственно;

и – значения аргумента интегральной функции распределения вероятности, соответствующие границам i-го интервала:

; , (2.14)

где , – начало и конец i-го интервала.

4 Для каждого интервала вычисляют значение критерия Пирсона:

(2.15)

и суммируют эти значения для всех k интервалов, т.е.:

.

5 Исходя из числа степеней свободы (см. формулу (2.16)) и уровня значимости (Р – вероятность, с которой принимается или отвергается выдвинутая гипотеза) определяют по таблице интегральной функции -распределения Пирсона допустимое (критическое) значение .

Если , то гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений принимается с доверительной вероятностью Р. В противном случае гипотеза с той же вероятностью отвергается.

Примечание:

1 При определении числа степеней свободы r (формула 2.16) следует иметь в виду, что k – это число интервалов, оставшихся после их объединения, если таковое было (см. п.п. 1 и 5).

2 Доверительную вероятность Р принимают обычно на уровне 0,9…0,95, т.е. Р = 0,9…0,95

Представление результата в принятой форме

Обычно принято результат любого измерения представлять в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью попаданий в него результата измерений Q:

, (2.16)

где t – относительная ширина доверительного интервала, зависящая от вероятности Р и вида закона распределения вероятности результата измерений;

Q – истинное значение измеряемой величины.

При многократном измерении в качестве меры рассеяния результата используют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения (см. формулу (2.3)). Поэтому доверительный интервал примет вид:

(2.17)

Относительная ширина доверительного интервала t выбирается по-разному в зависимости от числа измерений n. Если измерений мало, т.е. , то параметр t выбирается по таблицам распределения Стьюдента, а если достаточно много, т.е. то по таблицам нормированного нормального распределения.

Следует иметь в виду, что законы распределения вероятности величин Q и могут не совпадать между собой. Поэтому в общем случае, если неизвестен закон распределения вероятности величины , относительную ширину интервала t определяют из неравенства Чебышева:

(2.18)

или

, (2.19)

если известно, что этот закон симметричен.

Если же известно, что вероятность величины подчиняется нормальному закону, что обычно и бывает при нормальном распределении вероятности результатов Qi, то пользуются таблицей нормированного нормального распределения вероятности.

Примечание:

1 Не рекомендуется записывать результат измерений в виде симметричного интервала , т.к. при такой записи создается ложное впечатление, что значение является единственным наиболее вероятным результатом измерений;

2 При нормальном законе распределения вероятности часто используют следующие значения относительной ширины интервала:

при доверительной вероятности Р = 0,9973;

при доверительной вероятности Р = 0,95;

при доверительной вероятности Р = 0,9.

Пример обработки результатов измерений

В таблице 2.1 приведены 100 независимых числовых значений результата измерений напряжения U цифровым вольтметром, каждое из которых повторилось m раз. Определить значение измеряемого напряжения.

Таблица 2.1

Исходные данные, В
U 8,30 8,35 8,40 8,45 8,50 8,55 8,60 8,65 8,70 8,75 8,80 8,85 8,95
m

Решение:

1 Используя полученные данные, найдем значение среднего арифметического и оценки среднего квадратического отклонения Su:

В; В.

2 С помощью правила «трех сигм» проверим наличие грубых промахов:

В

В

Ни один из результатов не выходит за границы интервала , следовательно, с вероятностью 0,9973 принимается гипотеза об отсутствии грубых промахов.

3 Предположим, что вероятность результата измерений подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы с помощью критерия Пирсона. Все расчеты сведем в таблицу 2.2.

4 Определим значение аргумента интегральной функции нормированного нормального распределения:

(см. формулу 2.14)

Таблица 2.2

Расчет критерия Пирсона

i Интервалы mj – nPj
–¥ 8,425 –1,614 0,5333 0,0533 +1,67 0,523
8,425 8,475 –1,220 0,1112 0,0579 –0,79 0,523
8,475 8,525 –0,827 0,2053 0,0941 –1,41 0,211
8,525 8,575 –0,433 0,3347 0,1294 –2,94 0,539
8,575 8,625 –0,039 0,4844 0,1497 +3,07 0,630
8,625 8,675 +0,354 0,6364 0,1520 +1,80 0,213
8,675 8,725 +0,748 0,7728 0,1364 –1,64 0,197
8,725 8,775 +1,142 0,8733 0,1005 +1,05 0,101
8,775 8,825 +1,536 0,9377 0,0644 +0,56 0,049
8,825 0,0623 +0,77 0,095

a. Поскольку конец предыдущего интервала является одновременно началом следующего, то теоретическая вероятность попадания результата определится по формуле (2.13). Началом первого интервала следует считать «–¥», а функции .

b. По последнему столбцу рассчитаем значение -критерия:

.

c. Определим табличное (критическое) значение -критерия Пирсона, задавшись доверительной вероятностью, равной 0,95 и вычислив по формуле (2.12) число степеней свободы:

r = 10 – 3 = 7

; .

Таким образом, с вероятностью 0,95 гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений напряжения принимается.

5 Представим результаты в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью Р = 0,95.

a. Для этого определим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения напряжения по формуле (2.3):

В

b. Исходя из того, что закон распределения вероятности результата измерения с вероятностью 0,95 соответствует нормальному, считаем, что, и закон распределения вероятности среднего арифметического тоже соответствует нормальному. Поэтому выбираем параметр t по таблице нормированного нормального распределения вероятности. Для доверительной вероятности Р=0,95 параметр t=1,96.

Тогда результат измерения запишется следующим образом:

или с вероятностью .

8,6006 В ≤ U ≤ 8,6594 В

Учитывая то обстоятельство, что среднее квадратическое отклонение может быть оценено экспериментально с точностью до двух значащих цифр, округлим границы доверительного интервала до тысячных долей вольта. В итоге получим:

8,601 В ≤ U ≤ 8,655 В

Если же есть основания полагать, что среднее арифметическое имеет неизвестное, отличное от нормального распределение вероятности, то относительную ширину доверительного интервала рассчитаем по формуле (2.18):

, .

Окончательно результат измерения примет вид (см. формулу (2.17)):

или с вероятностью

или после округления

6 Строим саму гистограмму (рис.2.1).

Рисунок 2.1. Гистограмма и выравнивающая нормальная кривая, иллюстрирующая гипотезу о виде ЗРВ

 

 

Приложение Б

1. Нормированное нормальное распределение. Интегральная функция

z –0,09 –0,08 –0,07 –0,06 –0,05 –0,04 –0,03 –0,02 –0,01 –0,00
–3,5 0,00017 0,00017 0,00018 0,00019 0,00019 0,0002 0,00021 0,00022 0,00022 0,00023
–3,4 0,00024 0,00025 0,00026 0,00027 0,00028 0,00029 0,00030 0,00031 0,00032 0,00034
–3,3 0,00035 0,00036 0,00038 0,00039 0,0004 0,00042 0,00043 0,00045 0,00047 0,00048
–3,2 0,00050 0,00052 0,00054 0,00056 0,00058 0,0006 0,00062 0,00064 0,00066 0,00069
–3,1 0,00071 0,00074 0,00076 0,00079 0,00082 0,00084 0,00087 0,00090 0,00094 0,00097
–3,0 0,00100 0,00104 0,00107 0,00111 0,00114 0,00118 0,00122 0,00126 0,00131 0,00135
–2,9 0,00139 0,00144 0,00149 0,00154 0,00159 0,00164 0,00169 0,00175 0,00181 0,00187
–2,8 0,00193 0,00199 0,00205 0,00212 0,00219 0,00226 0,00233 0,00240 0,00248 0,00256
–2,7 0,00264 0,00272 0,0028 0,00289 0,00298 0,00307 0,00317 0,00326 0,00336 0,00347
–2,6 0,00357 0,00368 0,00379 0,00391 0,00402 0,00415 0,00427 0,00440 0,00453 0,00466
–2,5 0,00480 0,00494 0,00508 0,00523 0,00539 0,00554 0,00570 0,00587 0,00604 0,00621
–2,4 0,00639 0,00657 0,00676 0,00695 0,00714 0,00734 0,00755 0,00776 0,00798 0,00820
–2,3 0,00842 0,00866 0,00889 0,00914 0,00939 0,00964 0,00990 0,01017 0,01044 0,01072
–2,2 0,01101 0,01130 0,01160 0,01191 0,01222 0,01255 0,01287 0,01321 0,01355 0,01390
–2,1 0,01426 0,01463 0,01500 0,01539 0,01578 0,01618 0,01659 0,01700 0,01743 0,01786
–2,0 0,01831 0,01876 0,01923 0,01970 0,02018 0,02068 0,02118 0,02169 0,02222 0,02275
–1,9 0,02330 0,02385 0,02442 0,02500 0,02559 0,02619 0,02680 0,02743 0,02807 0,02872
–1,8 0,02938 0,03005 0,03074 0,03144 0,03216 0,03288 0,03362 0,03438 0,03515 0,03593
–1,7 0,03673 0,03754 0,03836 0,03920 0,04006 0,04093 0,04182 0,04272 0,04363 0,04457
–1,6 0,04551 0,04648 0,04746 0,04846 0,04947 0,0505 0,05155 0,05262 0,05370 0,05480
–1,5 0,05592 0,05705 0,05821 0,05938 0,06057 0,06178 0,06301 0,06426 0,06552 0,06681
–1,4 0,06811 0,06944 0,07078 0,07215 0,07353 0,07493 0,07636 0,07780 0,07927 0,08076
–1,3 0,08226 0,08379 0,08534 0,08691 0,08851 0,09012 0,09176 0,09342 0,09510 0,09680
–1,2 0,09853 0,10027 0,10204 0,10383 0,10565 0,10749 0,10935 0,11123 0,11314 0,11507
–1,1 0,11702 0,11900 0,12100 0,12302 0,12507 0,12714 0,12924 0,13136 0,13350 0,13567
–1,0 0,13786 0,14007 0,14231 0,14457 0,14686 0,14917 0,15151 0,15386 0,15625 0,15866
–0,9 0,16109 0,16354 0,16602 0,16853 0,17106 0,17361 0,17619 0,17879 0,18141 0,18406
–0,8 0,18673 0,18943 0,19215 0,19489 0,19766 0,20045 0,20327 0,20611 0,20897 0,21186
–0,7 0,21476 0,21770 0,22065 0,22363 0,22663 0,22965 0,23270 0,23576 0,23885 0,24196
–0,6 0,24510 0,24825 0,25143 0,25463 0,25785 0,26109 0,26435 0,26763 0,27093 0,27425
–0,5 0,27760 0,28096 0,28434 0,28774 0,29116 0,2946 0,29806 0,30153 0,30503 0,30854
–0,4 0,31207 0,31561 0,31918 0,32276 0,32636 0,32997 0,33360 0,33724 0,34090 0,34458
–0,3 0,34827 0,35197 0,35569 0,35942 0,36317 0,36693 0,37070 0,37448 0,37828 0,38209
–0,2 0,38591 0,38974 0,39358 0,39743 0,40129 0,40517 0,40905 0,41294 0,41683 0,42074
–0,1 0,42465 0,42858 0,43251 0,43644 0,44038 0,44433 0,44828 0,45224 0,45620 0,46017
–0,0 0,46414 0,46812 0,47210 0,47608 0,48006 0,48405 0,48803 0,49202 0,49601 0,50000

 

 





©2015- 2017 megalektsii.ru Права всех материалов защищены законодательством РФ.