Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Одноканальная модель СМО с отказами




 

Одноканальная СМО с отказами. Входящий поток и поток обслуживания являются простейшими с интенсивностями и соответственно.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис.3), у которого имеются два состояния:

- - КО свободен (ожидание);

- - канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис.3

Обозначим вероятности состояний: P 0(t) - вероятность состояния -«канал свободен»; P 1(t) - вероятность состояния - «канал занят». По графу состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(22)

 

Система линейных дифференциальных уравнений (22) имеет решение с учетом нормировки P 0(t) + P 1(t) = 1 и начальных условий . В результате для имеем

(23)

Характеристическое уравнение имеет один корень . Свободная составляющая, определяемая ненулевыми начальными условиями, принимает вид

Вынужденная составляющая вероятности повторяет структуру правой части (23)

Общее решения ДУ записывается в форме

Постоянная интегрирования при данных НУ равна .

Реше­ние данной системы определяет переходный режим работы, поскольку оно зависит от t

(24)

 

По истечении большого интервала времени () дости­гается стационарный (установившийся) режим:

- финальная вероятность состояния (25)

Для одноканальной СМО с отказами вероятность P 0 есть относительная пропускная способность системы . - вероятность того, что канал свободен, т. е. . Зная относительную пропускную способность, можно найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (Q) - среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

. (26)

 

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероят­ности состояния «канал занят»:

Величина может быть интерпретирована как сред­няя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример. Диагностический автоцентр с одной линией обслуживания представ­ляет собой одноканальную СМО.

Поток прибывающих ав­томобилей распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час).

Вре­мя диагностики автомобиля распределено по показательному зако­ну и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить характеристики центра ди­агностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Интенсивность потока обслуживания автомобилей:

2. Коэффициент загрузки

Длина очереди на диагностику не ограничена.

Требуется определить следующие характеристики:

· вероятности состояний центра диагностики;

· среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслу­живании и в очереди);

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);

· среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;

· среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

1. =0,952; =0,893.

2. Вычислим финальные вероятности системы по формулам

и т.д.

P 0(t) определяет долю времени (10,7%), в течение которого центр диагностики простаива­ет.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди):

4. Средняя продолжительность пребывания машины в центре:

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

7. Относительная пропускная способность системы:

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность:

Длина очереди

9. Финальные вероятности СМО с ограниченной очередью:

,

10. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

11. Относительная пропускная способность поста диагностики:

.

12. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

автомобиля в час

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...