Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Интегрирование рациональных дробей




Если исходная рациональная дробь не относится к простейшим, то ее интегрирование проводится по следующему алгоритму.

 

Алгоритм:

Дано:

1) Установить, является ли дробь правильной . Если дробь неправильная , то числитель разделить на знаменатель уголком

;

2) Знаменатель правильной дроби разложить на множители;

3) Представить правильную дробь с разложенным знаменателем в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами. При этом вид разложения определить познаменателю

1 случай:

2 случай: ,

3 случай: ,

 

4) Найти неопределённые коэффициенты:

а) обе части полученного разложения (см. пункт 3)) умножить на знаменатель дроби в левой части, получим равенство (*);

б) выбрать метод нахождения неопределённых коэффициентов

 

· метод частных значений

Условие применения: число корней знаменателя дроби (см. пункт 2)) равно числу неопределённых коэффициентов.

Суть:в равенство (*) поочередно подставляем корни из пункта 2).

 

· метод сравнивания коэффициентов

Условие применения: знаменатель дроби действительных корней не имеет. Суть:в равенстве (*) раскрываем все скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в слева и справа, решить полученную систему уравнений.

· комбинированный метод

Условие применения: число корней знаменателя дроби (см. пункт 2)) меньше числа неопределённых коэффициентов.

Суть:применяется сначала метод частных значений , затем метод сравнивания коэффициентов.

в) найденные коэффициенты поставить в разложение п.3).

 

5) Вычислить интеграл от целой части (см. пункт 1)) и простейших рациональных дробей с найденными коэффициентами (см. пункт 4)).

 

II. Вычислить неопределённые интегралы

Пример 1:

дробь под знаком интеграла относиться к простейшим дробям второго типа, используем преобразование дифференциала

.

 

Пример 2:

 

простейшая дробь третьего типа,

действуем по указанному в таблице (4.1.) алгоритму

 

 

 

в первом интеграле внесем числитель под знак дифференциала, затем используем правило (1.1.); второй интеграл является табличным

 

.

 

Пример 3:

Легко убедиться, что дискриминант знаменателя положителен, а значит, данная дробь не является простейшей третьего типа, следовательно, действуем по общему алгоритму

 

1. Степень числителя – 1, степень знаменателя – 2, дробь правильная

2. Разложим знаменатель на множители:

,

3. Представим дробь с разложенным знаменателем в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

4. Домножим разложение (см. пункт 3.) на знаменатель дроби в левой части

 

(*)

число неопределенных коэффициентов равно числу корней знаменателя дроби (см. пункт 2) метод частных значений

 

 

Имеем

5. Вычисляем интеграл от простейших дробей с найденными коэффициентами

.

Пример 4:

 

дробь не относится к простейшим, действуем по общему алгоритму

 

1. Степень числителя – 0, степень знаменателя – 4, дробь правильная

2. Разложим знаменатель на множители:

или

 

3. Представим дробь с разложенным знаменателем в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

4. Домножим разложение (см. пункт 3.) на знаменатель дроби в левой части

 

(*)

число корней знаменателя дроби (см. пункт 2)) меньше числа неопределённых коэффициентов комбинированный метод

в равенстве (*) раскрываем все скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа

 

 

Имеем

 

5. Вычисляем интеграл от простейших дробей с найденными коэффициентами

.

III. Для самостоятельной работы

1.
2.
3.
4.

№ 5

Тема: Интегрирование иррациональных выражений

 

I. Основные теоретические положения

Таблица (5.1.)

Тип интеграла Метод вычисления
1. Подстановка: ,
2. Подстановка: ,
3. а) выделить полный квадрат в подкоренном выражении; б) выражение под знаком квадрата; в) если интеграл не табличный, то почленное деление числителя на знаменатель.
4. а) подстановка: б) упростить и смотреть пункт 3.

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...