Макромоделирование ТП: принципы, законы и алгоритмы. Гидродинамические модели ТП.

Макромоделирование – такой тип моделирования, который основывается на применении к ДД знаков гидродинамики и газодинамики. Как следствие макромоделирование выражается в написании системы дифференциальных уравнений в частных производных, причем в системе уравнений производные могут браться относительно любого параметра. Например, по плотности ТП, по V ТП. Имитация ДД и наблюдения на реальном ТП показали, что в насыщенном ТП транспортные заторы могут возникать спонтанно даже из-за малозначимых событий (при резком торможении 1 водителя). Такую имитацию сравнивают с движением жидкости по трубам, но в отличии от жидкости, ТП подвержен влиянию сигналов, средств регулирования ДД (светофоры, ДЗ), и других событий, которые периодически затрагивают движение, поэтому в систему дифференциальных уравнений добавляют уточняющий коэффициент, сомножители и др. параметры.

Транспортный поток можно рассматривать как аналогию с потоком одномерной несжимаемой жидкости, допуская при этом 2 аспекта: 1)поток сохраняется. Это допущение выражается уравнением неразрывности транспортного потока. 2)существует однозначная зависимость между скоростью и K транспортного потока. Это допущение мы представляем в виде функции зависимости между скоростью и K в разных условиях движения. При этом нужно иметь ввиду, что одному и тому же значению k могут соответствовать несколько значений скоростей, следовательно, нужно учитывать, что средняя скорость транспортного потока в каждый момент времени должно соответствовать равновесному значению при данной K на дороге. Равновесная ситуация означает, что число авто въехавших на отрезок дороги будет = числу покинувших этот отрезок.

Среди гидродинамических моделей различают: 1)закон сохранения ТП. 2)Модели Гринберга и Гриншильдса. 3)Кинематические и ударные волны в ТП.

Закон сохранения ТП. Рассматривая ТП на однополосной дороге при движении без обгонов, обозначим: p (x,t), x? R, R – УДС, x – местоположение. Число авто в интервале от x₁ до x₂ в момент времени t будет = интервалу: интеграл от x₁ до x₂ p (x, t) dx (1). Пусть любое авто обозначим V (x, t), тогда число авто проходящих через сечение x дороги авто будет = p (x,t) V (x, t), найдем уравнение изменения плотности. Число авто, въезжающих на отрезок x₁ x₂ за время t будет =

Интегрируя по времени это уравнение, получаем:

Найдем уравнение для скорости как производной перемещения по времени. Пусть скорость зависит от плотности, в такой зависимости: координаты принадлежат УДС авто x₁ x₂ ; времена выбираем произвольно t₁ t₂ > 0. p(t)+(pV)x = 0, x? R, t > 0.. Дополним это уравнение начальными условиями. В какой то нулевой момент времени – плотность нулевая: p(x,0)=p₀x – соответствует свободному условию движения. Если p=0, то авто двигался с макс возможной V: V=V_макс. По мере насыщения дороги авто, может произойти случай полного затора, когда V=0, и p=p_макс. Все эти условия записываются: V(p)=V_max(1-p|p_max), 0≤p≤p_max. По уравнению можно судить о характере влияния плотности на V. Это уравнение впервые получено Гриншильдсом. Исходя из уравнений, мы получаем: P_t+(V_max*p(1-p|p_max))_x=0; x? R, t>0 – ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ТП.

Модели Гринберга и Гриншильдса. Вдвоем они построили макроскопическую модель, где уравнение Гриншильдса стало частным случаем. Рассматривая связь V и p, ученые пришли к выводу, что когда p↑, водители ↓V и наоборот. Если учесть изменение скорости для 1 а\м в процессе передвижения. ТП по времени, то можно говорить о существенной устойчивой функциональной закономерности связывающей м\у собой все 3 характеристики (плотность, скорость, интенсивность)V=V₀(1-(p/p_max)^n+1/L)

Модель Лайтхилла и Визема. Это модели кинематических волн. Эти ученые сформулировали и основное уравнение ТП и основную диаграмму. Они установили: если в любой точке диаграммы ТП провести касательную, то tg угла наклона касательной к горизонтали в этой точке диаграммы показывает не V ТП, а любое движение кинематической волны, сопровождающей текущее состояние ТП. Кинематические волны возникают внутри ТП из за изменения плотности, вызванной разными причинами. Т.к. изменения плотности могут происходить непрерывно, то могут возникать ситуации, когда кинематические волны могут накладываться друг на друга, или быть друг другу противоположными. Такое явление называют кинематические волны. Ударные волны. Идея этих волн вызвана этими же учеными. Скорость ударной волны: V_в=(q₂-q₁)/(K₂-K₁). Если величина скорости ударной волны получится «+», то такие волны способствуют движению ТП, если «-», то препятствуют движению. Ударные волны могут возникать из за сужения ПЧ, появления медленно движущегося транспорта, ДТП и др.