 |
Пояснения к выполнению работы.
|
|
|
|
1. С геометрической точки зрения определенный интеграл 
– есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
, 
, 
. Функция называется подынтегральной функцией.
Чтобы приближенно вычислить эту площадь, разделим интервал интегрирования 
на 
равных отрезков длиной 
каждый. Тогда координата левого конца i -го отрезка определяется по формуле 
, где 
, 
. Простейший приближенный расчет площади под кривой состоит в нахождении суммы площадей прямоугольников, у каждого из которых основание совпадает с отрезком 
, а высота равна значению функции в точке 
(метод левых прямоугольников). Можно высоту брать равной значению функции в точке 
(метод правых прямоугольников) или в точке 
(метод центральных прямоугольников). При использовании метода левых прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом:
.
Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменить на каждом интервале 
, 
дугу графика 
отрезком (хордой), соединяющем точки с координатами 
и 
. В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми 
, 
, приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций:
.
Формула может быть существенно упрощена, но мы оставим это для курса вычислительной математики (сейчас можете попытаться упростить ее самостоятельно).
2. Замена графика функции хордами, описанная в методе трапеций, позволяет при помощи электронных таблиц довольно легко определять приближенное значение длины дуги графика 
на интервале 
. В этой задаче рассматриваемая кривая представляется в виде ломанной, длина s которой равна сумме длин 
её звеньев. Длину звена, построенного на отрезке 
, можно найти как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 
и 
, используя известную теорему Пифагора. В результате суммирования длин всех звеньев, получаем:
|
|
|
.
Следует отметить, что точность приближенного вычисления интегралов зависит от величины 
, то есть от количества отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования 
. При отсутствии погрешностей округления, чем больше , тем выше точность (с ростом N погрешность вычислений сходится к нулю).
3. В качестве примера вычислим интеграл 
с точностью представления результатов вычислений до 4 знаков после запятой.
В ячейку А6 вводим нижнюю границу интервала интегрирования 
, равную 0,5. В следующую ячейку А7 вводим значение 0,51, отстоящее от нижней границы на шаг 
. Рекомендуется выбирать шаг в зависимости от требуемой точности вычисления интеграла. Затем выделяем обе ячейки А6 и А7. В правой нижней части выделенной области есть жирная черная точка – маркер заполнения, – тянем её мышкой вниз, пока не получим число, соответствующее верхней границе интеграла, т. е. значению 
. Это достигается в ячейке А206.
Выделим мышкой столбцы С, Е и G, указывая мышкой их заголовки. Вызовем с помощью правой кнопки мыши контекстное меню выделенных столбцов и выберем в нем опцию Формат ячеек. Далее, на закладке Число, выберем в качестве числового формата – Числовой и укажем отображаемое число десятичных знаков 4. Нажмем клавишу OК.
3.1. Теперь вычислим определенный интеграл с помощью метода левых прямоугольников. Для этого введем в ячейку С6 формулу =(А7-А6)*(Ln(А6)) (величина логарифма и есть высота соответствующего прямоугольника). Выделим ячейку С6 и протянем маркер заполнения вниз, до ячейки С205. Таким образом, в столбце C мы получили площади всех прямоугольников.
Выделим ячейку С206 и нажмем на кнопку Автосумма на панели Стандартные. Нажмем Enter, подтверждая этим предложенную формулу. В результате получим сумму всех выше расположенных чисел в столбце, т. е. значение интеграла, вычисленное методом прямоугольников.
|
|
|
3.2. Вычислим определенный интеграл с помощью метода трапеций. Для этого введем в ячейку Е6 следующую формулу =(А7-А6)*(Ln(А7)+Ln(А6))/2. Выделите ячейку Е6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки Е205. Так мы вычислили площади всех трапеций. Выделив ячейку Е206, вычислите их сумму с помощью кнопки Автосумма на панели Стандартные. Мыполучили значение интеграла, найденное методом трапеций.
3.3. Вычислим длину графика функции 
на интервале [0,5; 2,5].
Для вычисления длин хорд введите в ячейку G6 формулу
=((A7-A6)^2+(Ln(A7)-Ln(A6))^2)^(0,5). Выделите ячейку G6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки G205. В ячейке G206, используя Автосумму, найдите приближенное значение искомой длины графика.
3.4. Повторите в соседних столбцах все расчеты при меньшем шаге интегрирования, например, при шаге 0,001. Сравните результаты с полученными ранее. Проанализируйте их и сделайте выводы.
3.5. Вычисления провести по варианту и записать в отчет.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К РАЗДЕЛУ 1 И 2
Ниже приводятся типовые варианты заданий.
1). 
; 1,5 ≤ x ≤3,5. 11). 
; 0 ≤ x ≤ 2.
2). 
; 
≤ x ≤до 5 . 12). 
; 0,5 ≤ x ≤2,5.
3). 
; 
≤ x ≤до 
. 13). 
; 1 ≤ x ≤ 3.
4). 
; -2 ≤ x ≤до 1. 14). 
; 
≤ x ≤ 
.
5). 
; 4,3 ≤ x ≤до 6,8. 15). 
; 4,3 ≤ x ≤ 6,8.
6). 
; 0 ≤ x ≤ 4. 16). 
; 0 ≤ x ≤ 
.
7). 
; 
≤ x ≤ 2 . 17). 
; 2 ≤ x ≤4.
8). 
; 5 ≤ x ≤ 8. 18). 
; 0,14 ≤ x ≤3,67.
9). 
; 0,5 ≤ x ≤ 2,5. 19). 
; 5 ≤ x ≤8.
10). 
; 5 ≤ x ≤ 8. 20). 
; 5 ≤ x ≤8.
|
|
|
