 |
Моделирование дискретных случайных событий
|
|
|
|
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Практическое освоение метода моделирования на ЭВМ дискретных случайных величин и событий.
2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Исходным материалом для формирования на ЭВМ реализаций случайных величин с равномерными законами распределения в интервале [0,1]. Эти числа вырабатываются датчиками случайных чисел (ДСЧ)
В дальнейшем считаем, что ДСЧ в нашем распоряжении имеется.
Пусть имеется дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей
, 
т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение xn равна pk. Значение случайной величины X можно интерпретировать как некоторые события, образующие полную группу и наступающие с соответствующими вероятностями pk (k=1,2,...,n).
Реализация такой случайной величины X на ЭВМ осуществляется весьма просто. Интервал определения равномерно распределённой случайной величины U[0,1] делится на подинтервалы Dk, такие, что длина k равна pk (рис. 2.1).
Рис.2.1. Событие xk наступает, если uÎ∆k
Тогда вероятность попадания случайной величины U в интервал 
k оказывается равной pk: P{U 
k}=pk и алгоритм моделирования случайной величины X определяется простым присваиванием X=xk при u 
k.
Рассмотрим простой пример. Имитируется бросание игральной кости (кубика, на гранях которого изображены цифры от 1 до 6). Алгоритм имитации будет состоять в следующем. Отрезок [0,1] разбивается на 6 одинаковых частей (вероятности выпадения любой грани одинаковы). При попадании случайного числа U от ДСЧ в i-й интервал считаем, что при бросании кубика выпало i очков (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Число очков равно номеру интервала при попадании в него числа U.
Аналогично строятся схемы имитации и для более сложных событий.
|
|
|
3. ОБЪЕКТЫ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ
В лабораторной работе исследуются случайные величины, сиязаной с бросанием симметричной монеты, игральной кости, и неокторая случайная величина, появление которой подчиняется закону Пуассона:
X: 0, 1, 2, 3,....,k....;
P: p0, p1, p2, p3,..,pK...,
Т.е. 
, k = 0,1,2,…,
где a - математическое ожидание (a>0). На практике часто известна интенсивность λ появления тех или иных событий. Если 
=const, то число событий за время t будет a= 
t.
Распределением Пуассона, например, описываются многие явления на определённом отрезке времени: количество пожаров, авиакатастроф, отказов ЭВМ, крушений морских судов, ураганов и т.п.
Быстрый алгоритм моделирования чисел, распределённых по закону Пуассона, состоит в следующем.
Генерируются случайные значения переменой U, равномерно распределённой в интервале [0,1], до тех пор, пока не станет справедливым следующее соотношение:
Алгоритм, реализующий этот метод, приведен на рис.2.3. Алгоритм можно оформить в виде процедуры с формальными параметрами (A, K)
Величина математического ожидания А задаётся на входе подпрограммы.
4. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ
4.1. Ознакомиться с принципами имитации дискретных случайных величин и их реализацией на ЭВМ.
4.2. Повторить операторы выбранного языка программирования.
Формальные параметры (A, K)
K=0
E=EXP(-A)
S=1.0
1 S=S*RANDOM
Если (S-E <0), то 3
2 K=K+1 Идти к1
3 Возврат в точку вызова
Конец
Рис.2.3. Подпрограмма генератора случайных величин, распределённых по закону Пуассона с математическим ожиданием A.
5. ПРОГРАММА РАБОТЫ
5.1. Имитировать бросание симметричной монеты. Результаты первых 100 бросаний вывести на печать в строку в виде последовательности букв "О" и "Р".
Составить алгоритм и программу подсчёта частоты, с которой в последовательности из N бросаний встречается заданная комбинация орлов и решек:
|
|
|
1. O 5. PO 9. CPO 13. PPO
2. P 6. PP 10. OPP 14. PPP
3. OO 7. OOO 11. POO
4. OP 8. OOP 12. POP
Результаты для N=(100,200,300,...,1000)вывести на печать и сравнить с теоретической вероятностью.
Программу составить для заданного номера варианта.
5.2. Имитировать бросание игральной кости. Результаты первых 100 бросаний вывести строкой на печать.
Составить алгоритм и программу расчёта частоты события, состоящего в том, что сумма очков при двух последовательных бросаниях равна заданному К. (К принимает значения от 2 до 12. Число бросаний равно 1000).
Сравнить рассчитанную частоту с теоретической вероятностью.
5.3. При работе ЭВМ время от времени возникают неисправности (сбои). Ежедневное количество сбоев описывается как случайная величина X, распределённая по закону Пуассона с параметром a =1.5.
Составить алгоритм и программу имитации сбоев в ЭВМ в течение 365 дней и вычисления частоты события: сумма числа сбоев в двух последовательных днях равна K. (K-номер студента по списку группы). Число сбоев за каждый из первых 100 дней вывести на печать в строку.
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
6.1. В чём заключается сущность метода, реализующего случайную величину на ЭВМ?
6.2. Привести алгоритм моделирования дискретной случайной величины на ЭВМ.
6.3. Какой алгоритм используется для моделирования закона Пуассона на ЭВМ?
Лабораторная работа 4
|
|
|
