Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Вопрос№17 Угол между прямой и плоскостью в пространстве.




Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ = | A · l + B · m + C · n |
√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2



Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ = | q · s |
| s | · |q |

Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

 

 

ПРЕДЕЛЫ 1.Последовательность (определение). Определение предела последовательности. Числовая последовательность – это функция натурального аргумента: Числа называются членами последовательности, а число – общим или n-ным членом данной последовательности. Например: 2, 4, 6, 8, …, 2n. Число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от такой, что для любого выполняется неравенство . Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M>0, что для любого номера , Монотонные последовательности: Последовательность называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним. — неубывающая Последовательность называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего. — невозрастающая Теорема. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (М). Последовательность называется бесконечно малой, если , т.е. . Пример: Последовательность называется бесконечно большой, если , или . Пример:   2.Определение предела функции, определения односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (сформулировать). 1) Определение предела ф-ции в точке Число А называется пределом ф-ции f(x) в точке x=a () ó : ∀х ∈ Ủ (a, δ) => Замечание. Ủ- проколотой δ-окрестностью точки а называется следующее множество: Ủ(a, δ) = (а – δ; а)∪(а; а + δ) Из определения пределов ф-ции следует, что чем ближе значение х к точке а, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. 2) Определение пределов ф-ции на +∞ Из определения следует, что чем больше значение х, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. 3) Определение пределов ф-ции на ∞ Число А называется пределом ф-цииf(x) при х, стремящемся к минус бесконечности ó : х<S => Из определения следует, что чем меньше значение х, тем меньше различаются значение ф-ции и значение предела А. Определение односторонних примеров. Пределом слева ф-ции f(x) в точке х=а называется число А ( ó : ∀х ∈ (a- δ; a) => Иначе можно обозначить предел слева f(a-0). Пределом справа ф-ции f(x) в точке х=а называется число В ( ó : ∀х ∈ (а; а+ δ) => Иначе можно обозначить f(a+0). Теорема. Необходимое и достаточное условие существования пределов ф-ции в точке. Для того, чтобы в точке х= существовал предел, необходимо и достаточно существование обоих односторонних пределов, равных между собой 3.Теорема о единственности предела. Теоремы о свойствах ф-ций, имеющих предел. Теорема. Если функция в точке имеет предел, то этот предел единственный. Докажем методом от противного. Предположим, что , , . Возьмём , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая -окрестность точки (), в которой одновременно будут выполнятся неравенства , , тогда в точках этой же окрестности Получили противоречие . Отсюда, функция в точке имеет единственный предел. Основные теоремы о пределе ф-ций. 1) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и принимает в этой окрестности постоянное значение f(x)=C, тогда предел ф-ции также равен С: 2) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и для всех Х в этой окрестности выполняется неравенство f(x)>p (или f(x)<p) Тогда, если в точке а существует предел, то он ≥p (или ≤p). Следствие: если в некоторой окрестности точки х=а ф-ция положительна, то пределом, если он есть, будет число неотрицательное (≥0). А если ф-ция отрицательная, то предел неположительный (≤0). 3) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а и существует a. Тогда, если M≤A≤N, то существует окрестность, для которой M≤f(x)≤N. Следствие: если ф-ция имеет предел, то она ограниченна в некоторой окрестности точки. 4) Теорема о пределе промежуточной ф-ции. Пусть ф-ции y=f(x), y=φ(x), y=ψ(x) определены в некоторой окрестности точки х=а и пусть для всех х из этой окрестности выполняется: φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x). Тогда, если существуют пределы =А, тогда существует и предел =А. Доказательство. Из определения 1 предела ф-ции в точке следует: =А ó Ủ(a; ) => | -A|< Для другой ф-ции: =А ó Ủ(a; ) => | ψ(x) -A|< Рассмотрим неравенство из условия: φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x). Тогда: |f(x) – A| ≤ max , если взять значения х из интервала Ủ(а; ), где . Это и означает существование пределов ф-ций f(x) в точке х=а.   4.Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определения). Теорема о связи б.м. и б.б. функций. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Функция называется бесконечно большой при , если . Теорема. Теорема о представлении ф-ции. Пусть ф-ция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а ó , где - б.м.ф. при х а Доказательство. По определению предела ф-ции ó Ủ(a; => |f(x) – A|< (f(x) – A= ) ó Ủ(a; => | -0|< ó следовательно - б.м.ф. при и Это равносильно , где - б.м.ф. при . Замечание. Теорема позволяет доказывать утверждение, не прибегая к определению предела. Теорема. Связь между б.м. и б.б. функциями.   5. Свойства б.м.ф. (без доказательств). Сравнение б.м.ф.; эквивалентные функции. Основные свойства б.м.ф. 1) Сумма конечного числа б.м.ф. при есть б.м.ф.при б.м. + 2) Произведение ограниченной функции на б.м.ф. при есть б.м.ф. при огр.пос-ность * б.м.п. = б.м.п. 3)Произведение конечного числа б.м.ф. при есть б.м.ф. при Сравнение б.м.ф. Пусть и – б.м.ф. при и пусть существует , тогда: 1) при А=0, называется б.м.ф. более высокого порядка, чем 2) при А=∞, называется б.м.ф. более низкого порядка, чем 3) при А=1, и называются эквивалентными б.м. Обозначается при 4) при А=const, А , и называются б.м. одного порядка 5) если предел не существует, то и называются несравнимыми б.м. Таблица эквивалентности функций () й Теорема. Пусть - б.м.ф. при ; и пусть и при , тогда 6. Основные свойства пределов (арифметические) Теорема. Арифметические свойства пределов. Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х= и пусть существует и 1) 2) 3) Доказательство. Из теоремы о представлении функций следует, что б.м.ф.; ; 𝑓 , Следовательно по теореме о представлении функций . Остальные пункты аналогичны.   7. 1-й и 2-й замечательные пределы. Примеры их применения. 1-й замечательный предел. Замечания: 1) 1-й замечательный предел раскрывает неопределенность вида ; 2) На практике удобнее этот предел применять в виде Например. 2-й замечательный предел. Замечания: 1) Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида ; 2) На практике удобнее представлять этот предел в виде Например.   8. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки . Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие условия: 1) функция определена в точке т.е. ; 2) ; 3) . Использую данное определение непрерывности, можно вывести другое определение: рассмотрим 3 пункт определения и учтем теорему о представлении функции ó ó при ó – второе определение непрерывности функции в точке. Если нарушено хотя бы одно условие первого определения непрерывности функции в точке, то называется точкой разрыва. Если в точке существуют оба односторонних предела (конечных числовых), то называется точкой разрыва 1 рода. 1) Точка разрыва 1 рода – «скачок» 2) Точка разрыва 1 рода – «устранимая» Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва 1 рода, являются точками разрыва 2 рода (если хотя бы один предел не существует или равен бесконечности).   9.Свойства функция, непрерывных на отрезке (сформулировать). Если функция f(x) непрерывна в каждой точке х М, то ее называют непрерывной на множестве М. Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке , если выполнены следующие условия: 1) она непрерывна в каждой точке х из интервала (а; b); 2) ; . Теорема. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на отрезке , тогда: 1) она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения; 2) если на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна такая точка х=с (a; b), для которой f(c)=0; 3) если на концах отрезка функция принимает неравные между собой значения А и В (A<B), то она принимает и любое промежуточное значение С (А; В) в некоторой точке х=с (а; b). Теорема. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на некотором множестве М, тогда непрерывными будут и следующие функции: 1) 3) , при g(x) 0 для всех х М.   Диффернцирование 1). Определение производной. Теорема о связи непрерывности и дифференцирования. Пусть функ. у=f(x) определено в некоторой окрестности точки х0 в этой точке сущ. производная функц. f(x),если существует след. предел (конечный) Limd(x0+Δx)-d(x0)=f ‘ (x0) x-0 где Δx-приращение аргументов Δу= d(x0+Δx)-d(x0)-приращение функции Связь производной и непрерывности.если функция у=f(x) определена в окрестности х0 имеет в этой точке производную,то она не прерывна в точке х0. 2).геометрический смысл производной. производная в т. х0=tg угла наклонной косательной к положительному направления оси ох.Если в точке х0 сущ. невертикальная косательная,то существует и производная И ОБРАТНОЕ 3)Основные правила дифференцирования. Производная сложной функций. Производная параметрически заданной функции производная сложной функции.пусть функция у=у(х) диффернц. на множестве х,а функция х=х(t) диффернц на множестве Т,тогда для вычисления производной сложной функции y=(y(x(t)) – y(x(t)))’=y’x*x’t производная параметрически заданной функции.Пусть функц. задана в параллели виде у=у(t) х=х(t),где х(t) и y(t) дифференцфункц. параметра t.тогда производная y’(t) находят по формуле Y’x=y’(t):x’(t) 5)Производная показательно-степенной функции. функция вида у=И(х)^t(x) показательно степенная.длядиффернцирования нельзя применять ни формулы для показательной функции ни формулу для степенной. lny=lnИ(X)^t(x) lny=t(x) * lnИ(x) невно заданная 1/у *у’=И’(x) *lnИ(x) +t(x) * 1/И(х) * И’(x) умножим обе части на у=И(х)^t(x) y’=(И’(x) *lnИ(x)* И(х)^t(x)+ 1/И(х) * И’(x)* И(х)^t(x) 6. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши (сформулировать). ТЕОРМЕРА ФЕРМА Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Если в некоторой очке х=с∈ (а;b) функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения,то если производная в этой точке существует, она равно 0⇒f*(c)=0 ТЕОРЕМА РОЛЛЯ Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b]. если функция удовлетворяет условия 1. непрерывна на [a;b] 2. дифференцируема на (a;b) 3. f(a)=f(b) Если выполнено условие, то найдется хотя бы 1 такая точка x=c∈ (a;b) для которой справедливо f*(c)=0 ТЕОРЕМА ЛАНГРАДЖА Пусть функция y=f(x) определена на [a;b]. Если функция отвечает условиям: 1)непрерывна на [a;b] 2. дифференцируемана (a;b) То найдется хотя бы одна такая точка, где x=c(a;b), для которой справедливо f*(c)=f(b)-f(a) ________ b-a ТЕОРЕМА КОШИ Пусть функции y=f(x) и g=f(x) определены на отрезке [a;b]. Если н удовлетворяют условиям 1. непрерывна на [a;b] 2. дифференцируемы на (a;b) 3. Ɐx∈ (a;b) g*(x) ≠ 0 То найдется хотя бы 1 такая точка x=c∈ (a;b), для которой справедливо f*(c) f(b)-f(a) ___=_____ g*(c) f(b) - g(a)   7. Следствия из теорем о среднем. 1. правило Лопиталя: Пусть функция y=f(x) и y=g(x) определены на [a;b], если выполнены следующие условия 1. непрерывнына [a;b] 2. Дифференцируема на (a;b) 3. Ɐx∈(a;b). g*(x)≠ 0 4. f(a)=g(a)=0 Доказательсвт функция f(x) и g(x) твечают условиям теоремы КОШИ на отрезке[a;b], ф значит и на любом меньшем отрезке [a;x]c[a;b] 8. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Правило Лопиталя раскрывает неопределенность вида 0 делить на 0 и в случаях если x→ a-0 x→ a x→ - + бесконечность Правило лопиаля остается справеливым для бесконечность делить на бескнечность     9. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Сформулировать необходимое и достаточное условия существования экстремума. достаточное условия существования экстремума. Пусть функция y=f(x) определена непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки x=c.Если выполнены следующие условия 1. f*(c) =0 2. Ɐx меньше с, f*(x) меньше 0, aⱯx Больше cf*(x) больше 0 то x=c- точка минимума; если Ɐx меньше с f*(x) больше 0, а Ɐх больше с f*(x) меньше 0 то ч=с — точка максимума необходимое условие экстремума Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х=с. Если х=с — точка экстремума, то f* в этой точке f*(c) =0 или f*(c) – несуществует.Докв следует из теоремы ферма   10)Точки перегиба (необходимое и достаточные условия) — сформулировать. 1 достаточное Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна и дважды дифференцируема в окрестности точки х=с, если выполнены следующие условия 1. f **(c) = 0 2. при переходе через точку x=cf** меняет знак, то х=с — точка перегиба\ 2 достаточное Пусть функция y=f(x) определен непрервна и 2жды дифференцируема в некоторой кресстности точки х=с. ч=с является точкой максимуа если выполнены следующи условия 1. f*(c)=0 2. f**(c) меньше 0 точка х=с являтся точкой минимума если выполнено 1. f*(c) = 0 2. f**(c) больше 0 11. Выпуклость и вогнутость графика функции (определения). Условия выпуклости или вогнутости функции. Пусть функция y=f(x) пределена, непрерывна и дифференцируема на интервале [a;b] Если точки графика функции на этом интервале расположены ниже точек любой ее касательной, то функцию называют выпухлой. Если точки графика функции расположены выше точек любой касательной а этом интервале то функция назваетсявыпухлой   ИНТЕГРАЛЫ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл (определение, геометрический смысл). 2. Определение и свойства неопределенного интеграла. Вопрос 3 Основные методы интегрирования. Непосредственное- заключается в том, чтобы использовать свойсва функции и интегралов и привести их к табличному виду   Вопрос 4 Интегрирование простейших тригонометрических функций.     Интегрирование тригонометрических функций 1°. Интегралы вида находятся с помощью тригонометрических формул 2°. Интегралы вида где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1) Вопрос 5 Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. Интегралы вида , где - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой . Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или . Интегралы вида вычисляются заменой или .              

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...