Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Задания для домашнего выполнения




Задача 1

Сравните две бесконечно малые величины:

1) и при ;

2) и при ;

3) и при ;

4) и при ;

5) и при ;

 

Задача 2

Определите порядок малости p относительно x функции f (x), которая является бесконечно малой при :

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Ответы к заданиям для домашнего выполнения

Задача 1

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Задача 2

1) p =1; 2) p =10; 3) p =1; 4) p =1; 5) p =2.

Занятие 9. Исследование функций на непрерывность

Цель занятия:

1) отработать основные определения, связанные с непрерывностью функции в точке;

2) научиться описывать по графику свойство непрерывности функций.

 

Краткая теоретическая справка

1. Определение непрерывности функции в точке:

Функция называется непрерывной в точке x 0, если выполняются следующие условия:

1) точка вместе с некоторой своей окрестностью;

2) конечный ;

3) , т.е. этот предел совпадает со значением функции в точке .

Если функция непрерывна в точке , то это означает, что её график проходит через точку , не прерываясь.

 

2. Определение точки разрыва:

Точка называется точкой разрыва функции , если функция определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки ), но не является в ней непрерывной, (т.е. не выполняется хотя бы одно из требований определения непрерывности).

 

3. Типы точек разрыва:

1) разрыв типа выколотой точки, или устранимый разрыв в точке , если существует конечный предел , но этот предел не совпадает со значением функции f (x 0):

 

   

 

2) разрыв типа скачка в точке x 0, если не существует конечный предел , но существуют конечные односторонние пределы этой функции в точке x 0:

   

 

3) бесконечный разрыв в точке x 0, если не существует конечный предел , но при этом хотя бы один из односторонних пределов является бесконечным:

 

 

4. Классификация точек разрыва:

1) точки разрыва I рода, или точки конечного разрыва – это точки разрыва типа выколотой точки или типа скачка;

2) точки разрыва II рода – это точки бесконечного разрыва и точки разрыва, которые характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов не существует.

 

5. Основные свойства функций, непрерывных в точке:

1) если две функции и непрерывны в точке , то непрерывными в этой же точке являются их сумма , их произведение , а также их отношение , но при условии, что ;

 

2) если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то суперпозиция этих функций является непрерывной в точке ;

 

3) каждая из основных элементарных функций (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические) является непрерывной в каждой точке своей ООФ;

 

4) любая элементарная функция (получается из основных элементарных функций конечным числом арифметических операций и суперпозиций) является непрерывной в каждой точке своей ООФ.

 

 

6. Определение функции, непрерывной на промежутке:

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка;

в случае, когда промежуток является конечным и замкнутым, т.е. , то на его концах и требуется односторонняя непрерывность (правосторонняя в точке и левосторонняя в точке ).

 

 

7. Исследовать заданную функцию на непрерывность – это означает:

1) описать множество всех точек x, в которых функция является непрерывной;

2) перечислить точки разрывов и указать тип каждого разрыва;

3) построить график функции (полностью или в окрестности каждой точки разрыва).

 

Аудиторные задания

Задача 1

Постройте график кусочно-заданной функции и по графику опишите свойство непрерывности этой функции; сформулируйте при этом рабочие определения:

1) 2) .

Ответы:

1)

  Функция y = f (x) является непрерывной при и при , при этом в точке x =-2 непрерывность является односторонней; x =0 – точка разрыва, т.к. не , тип разрыва в точке x =0 бесконечный, т.к. один из односторонних пределов f (x) при x →0 является бесконечным.

 

 

2)

    Функция y = f (x) является непрерывной при , при , при и при ; имеет 3 точки разрыва x =0, x =1, x =2, т.к. в каждой из этих точек не выполняется определение непрерывности функции; типы точек разрывов: x = 0 - бесконечный разрыв, т.к. ; x = 1 – разрыв типа выколотой точки, т.к. ; x = 2 – разрыв типа скачка, т.к., не, но есть конечные односторонние пределы и .

 

Задача 2

Исследуйте непрерывность элементарной функции, используя основные свойства непрерывных функций; построите часть графика функции в окрестности каждой точки разрыва:

1) ; 2) .

Ответы:

1)

  Функция является непрерывной при и при , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке ; x = 3 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к. , .  

2)

  Функция является непрерывной при и при , т.к. данная функция относится к элементарным функциям, следовательно, является непрерывной в каждой точке ; x = 2 – точка разрыва, т.к. не принадлежит ООФ, но её окрестность входит в ООФ; тип разрыва – бесконечный, т.к.
Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...