 |
с помощью Microsoft Office Excel
|
|
|
|
Программный комплекс Microsoft Office Excel позволяет методом наименьших квадратов определить математическое описание данных, полученных экспериментально. Рассмотрим это на примере.
Дано: Получены экспериментальные данные –
| X | ||||||||||
| Y | 0,1 | 1,2 | 5,3 | 6,9 | 9,0 | 12,0 | 18,0 | 20,0 | 25,0 | 31,0 |
Определить линейное, полиноминальное (n = 2, 3), логарифмическое, степенное и экспоненциальное уравнения, описывающие полученные экспериментальные данные и определить величину достоверности аппроксимации R. По величине R выбрать уравнение адекватное полученным экспериментальным данным.
Шаг 1. Открыть программу Microsoft Office Excel и внести в таблицу исходные данные и выделить их.
Шаг 2. В «Мастер диаграмм» выбрать «Стандартные» и «Точечная» и построить график y = f (x).
Шаг 3. Правой кнопкой мыши выделить построенный график и выбрать из появившихся команд «Добавить линию тренда». Из появившихся линий тренда выбрать «Линейная». На графике появится график линейной зависимости. Правой кнопкой мыши выделить график линейной зависимости и выделить команду «Формат линии тренда», в появившемся окне выделить «Показывать уравнение на диаграмме» и «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2».
Шаг 4. Повторить шаги 2 и 3 для линий тренда полиноминального (n = 2, 3), логарифмического, степенного и экспоненциальных уравнений. Полученные графики (по 3 шт.) разместить на диаграмме и выделить разными цветами. Итого две диаграммы с тремя графиками. По величине достоверности аппроксимации выбрать уравнение, адекватно описывающее полученные экспериментальные данные.
Вывод: Наиболее адекватным уравнением, описывающим полученные экспериментальные данные будет уравнение y = 0,0136x3 - 0,016x2 + 2,1037x - 2,2167, т.к. величина достоверности аппроксимации R2 = 0,9941.
|
|
|
Отчет выполнить на листах А4 с указанием учебной группы, фамилии и имени студента, и полученного задания.
Привести две диаграммы с исходными данными и полученными линиями тренда. Под диаграммами указать (сделать вывод) какое полученное уравнение наиболее адекватно полученным экспериментальным данным. На отдельном листе распечатать ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов? Чем отличается этот метод от метода интерполяции?
2. Каким образом сводится задача построения приближающих функций в виде различных элементарных функций к случаю линейной функции?
3. В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов?
4. Почему используется принцип минимума суммы квадратов абсолютных величин, а не суммы самих абсолютных величин? Ответ обосновать и подтвердить примерами.
5. Почему метод наименьших квадратов наиболее эффективен, если функция f(x) линейна относительно искомых параметров?
Задание к лабораторной работе
| Вариант | Результаты опыта | ||||||||||||
| x | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,15 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | |
| y | -13,65 | -5,77 | -0,07 | 6,95 | 12,05 | 18,97 | 25,67 | 31,57 | 38,44 | 46,20 | 51,33 | 58,83 | |
| x | -4,0 | -3,5 | -3,0 | -2,5 | -2,0 | -1,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | |
| y | 7,49 | 6,95 | 5,95 | 5,93 | 5,42 | 4,99 | 10,310 | 10,934 | 10,564 | 10,703 | 10,667 | 10,334 | |
| x | -5,0 | -4,5 | -4,0 | -3,5 | -3,0 | -2,5 | -2,0 | -1,5 | -1,0 | -0,5 | 0,5 | ||
| y | 54,98 | 45,52 | 37,00 | 29,53 | 23,00 | 17,53 | 12,97 | 9,49 | 7,034 | 5,50 | 4,98 | 5,32 | |
| x | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | 2,2 | 2,4 | |||||
| y | 3,875 | 3,640 | 3,475 | 3,363 | 3,260 | 3,195 | 3,125 | 3,072 | |||||
| x | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | |||||
| y | 2,617 | 1,893 | 1,659 | 1,347 | 1,888 | 1,698 | 1,323 | 1,127 | |||||
| x | -5,0 | -4,1 | -3,2 | -2,3 | -1,4 | -0,5 | 0,4 | ||||||
| y | -45,03 | -35,99 | -27,04 | -18,00 | -8,99 | -0,01 | 8,98 | ||||||
| x | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,0 | 2,2 | 2,4 | |||||
| y | 9,35 | 8,48 | 7,74 | 7,30 | 6,84 | 6,61 | 6,28 | 6,13 | |||||
| x | 0,9 | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | 2,1 | 2,3 | |||||
| y | 8,48 | 7,23 | 6,35 | 5,71 | 5,22 | 4,84 | 4,52 | 4,26 | |||||
| x | 0,4 | 0,7 | 1,0 | 1,3 | 1,6 | 1,9 | 2,2 | 2,5 | |||||
| y | 8,481 | 5,382 | 4,153 | 3,480 | 3,069 | 2,777 | 2,571 | 2,418 | |||||
| x | |||||||||||||
| y | 8,15 | 13,45 | 22,17 | 36,55 | 60,26 | 99,35 | 163,79 | 270,05 | 445,24 | 734,08 | 1210,2 | ||
| x | |||||||||||||
| y | 0,967 | 1,346 | 1,872 | 2,604 | 3,621 | 5,037 | 7,010 | 9,75 | 13,56 | 18,86 | 26,24 | ||
| x | |||||||||||||
| y | 37,52 | 22,76 | 13,80 | 8,37 | 5,08 | 3,08 | 1,87 | 1,13 | 0,68 | 0,41 | 0,25 | ||
| x | |||||||||||||
| y | 12,21 | 13,498 | 14,918 | 16,487 | 18,220 | 20,137 | 22,255 | 24,596 | 27,183 | 30,040 | 33,200 |
|
|
|
| Вариант | Результаты опыта | ||||||||||||
| x | |||||||||||||
| y | 0,967 | 1,346 | 1,872 | 2,604 | 3,621 | 5,037 | 7,010 | 9,75 | 13,56 | 18,86 | |||
| x | |||||||||||||
| y | 2,0 | 2,297 | 2,491 | 2,639 | 2,759 | 2,861 | 2,9551 | 3,031 | 3,104 | 3,169 | 3,231 | ||
| x | |||||||||||||
| y | 10,00 | 14,114 | 17,32 | 20,00 | 22,36 | 24,49 | 26,45 | 28,28 | 30,00 | 31,62 | 33,16 | ||
| x | |||||||||||||
| y | 1,0 | 0,707 | 0,577 | 0,500 | 0,447 | 0,408 | 0,377 | 0,353 | 0,333 | 0,316 | 0,301 | 0,288 | |
| x | |||||||||||||
| y | 9,33 | 8,95 | 8,70 | 8,51 | 8,36 | 8,23 | 8,12 | 8,03 | 7,94 | 7,86 | 7,80 | ||
| x | |||||||||||||
| y | -2,00 | -3,38 | -4,19 | -4,77 | -5,22 | -5,58 | -5,89 | -6,16 | -6,39 | -6,60 | -6,79 | -6,96 | |
| x | |||||||||||||
| y | 5,50 | 5,25 | 5,16 | 5,112 | 5,10 | 5,08 | 5,07 | 5,07 | 5,05 | 5,05 | 5,04 | 5,04 | |
| x | |||||||||||||
| y | 0,17 | 0,25 | 0,30 | 0,33 | 0,36 | 0,37 | 0,39 | 0,40 | 0,41 | 0,42 | 0,42 | 0,43 |
Литература:
1. Цымбал В.П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии: учеб. для вузов / В.П. Цымбал. - Кемерово: Кузбассвузиздат; М.: АСТШ. - 2006.
2. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств. -– М., «Высшая школа», 1991.
3. Курбатова Е.А. Microsoft Excel. Самоучитель. – М.: «Вильямс». – 2006.
|
|
|
