Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Метод множників лагранжа

Розглянемо окремий випадок загальної задачі нелінійного програмування (1), (2), припускаючи, що система обмежень (2) містить тільки рівняння, відсутні умови невід’ємності змінних і f (х₁; х₂;...; х_п)і g_i (х₁; х₂;...; х_п) – функції, неперервні разом зі своїми частинними похідними

f (х₁; х₂;...; х_п)→ max (min); (16)

g_i (х₁; х₂;...; х_п)= b_i (i = ) (17)

У курсі математичного аналізу задачу (16), (17) називають задачею на умовний екстремум або класичною задачею оптимізації.

Щоб знайти Розв’язок цієї задачі, вводять набір змінних λ ₁, λ ₂,..., λ _m, що називаються множниками Лагранжа, складають функцію Лагранжа

знаходять частинні похідні і і розглядають систему п+т рівнянь

з п+т невідомими х₁; х₂;...; х_п, λ ₁, λ ₂,..., λ _m. Всяке Розв’язок системи рівнянь (19) визначає точку Х= (х ⁰ ₁; х ⁰ ₂;...; х ⁰ _п),у якій може мати місце екстремум функції f (х₁; х₂;...; х_п).Отже, вирішивши систему рівнянь (19), одержують всі точки, у яких функція (16) може мати екстремальні значення. Подальше дослідження знайдених точок проводять так само, як і у випадку безумовного екстремуму.

Таким чином, визначення екстремальних точок задачі (16), (17) методом множників Лагранжа включає наступні етапи:

1. Складають функцію Лагранжа.

2. Знаходять частинні похідні від функції Лагранжа по змінним х_j н λ _j і прирівнюють їх нулю.

3. Вирішуючи систему рівнянь (19), знаходять точки, у яких цільова функція задачі може мати екстремум.

3. Серед точок, підозрілих на екстремум, знаходять такі, у яких досягається екстремум, і обчислюють значення функції (16) у цих точках.

3.12. За планом виробництва продукції підприємству необхідно виготовити 180 виробів. Ці вироби можуть бути виготовлені двома технологічними способами. При виробництві х₁ виробів I способом витрати рівні 4 х₁+х₁ ²грн., а при виготовленні х₂ виробів ІІ способом вони складають 8 х₂+х₂ ² грн. Визначити, скільки виробів кожним зі способів варто виготовити, так щоб загальні витрати на виробництво продукції були мінімальними.

Розв’язок. Математична постановка задачі полягає у визначенні мінімального значення функції

f= 4 x₁ + x₁ ²+8 x₂+x₂ ² (20)

при умовах

х₁ + х₂ =180 (21)

х₁, х₁ > 0 (22)

Спочатку знайдемо Розв’язок задачі, використовуючи її геометричну інтерпретацію. Областю припустимих рішень вихідної задачі є відрізок прямої АВ (рис. 3.5), а лініями рівня – окружності із центром у точці Е (–2; –4).

Рис. 3.5

Проводячи із точки Е окружності різних радіусів, бачимо, що мінімальне значення цільова функція приймає в точці В. Щоб знайти координати цієї точки, скористаємося тим, що кутовий коефіцієнт до окружності 4 x₁ + x₁ ²+8 x₂+x₂ ²= С у точці D збігається з кутовим коефіцієнтом прямої х₁ + х₂ =180 і, отже, дорівнює –1. Розглядаючи х₂ як неявну функцію від x₁ і диференціюючи рівняння окружності, маємо

4+2 x₁ +8 х ′ ₂ +2 х₂х ′ ₂ =0, або х ′ ₂ =–(2+ х₁)/(4+ х₂).

Прирівнюючи отримане вираження числу –1, одержуємо одне з рівнянь для визначення координат точки D. Приєднуючи до нього рівняння прямої, на якій лежить точка D, маємо систему

звідки x₁ *=91; x₂ *=89. Це означає, що якщо підприємство виготовить 91 виріб I технологічним способом і 89 виробів II способом, то загальні витрати будуть мінімальними і складуть 17 278. грн.

Вирішимо тепер задачу, використовуючи метод множників Ла-Гранжа. Знайдемо мінімальне значення функції (20) за умови (21), тобто без врахування вимоги невід’ємності змінних. Для цього складемо функцію Лагранжа

F (х₁, х₂, λ) = 4 х₁+х₁ ² + 8 х₂+х₂ ² + λ(180– х₁ – х₂),

обчислимо її частинні похідні по х₁, х₂,λі прирівняємо їх до нуля:

Переносячи в праві частини перших двох рівнянь λ і прирівнюючи їх ліві частини, одержимо

4+2 х₁ =8+2 х₂, або х₁–х₂ =2.

Вирішуючи останнє рівняння разом з рівнянням х₁ + х₂ =180, знаходимо х₁ *=91 і х₂ *=89, тобто одержали координати точки D, що задовольняє умовам (22). Ця точка є підозрілою на екстремум. Використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в точці D функція f має умовний мінімум. Цей результат і був отриманий вище.

Слід зазначити, що такий же результат ми одержимо і у тому випадку, якщо дослідження на умовний екстремум функції f зведемо до дослідження на безумовний екстремум функції f₁, отриманої з f у результаті її перетворень. А саме: якщо з рівняння зв’язку (21) знайдемо х₂ =180– х₁ і підставимо це вираження в (20), то одержимо функцію однієї змінної х₁:

f₁= 4 x₁ + x₁ ²+8(180– x₁) + (180– x₁)².

Знайдемо стаціонарну точку цієї функції з рівняння =4+2 x₁ –8–2(180– –x₁)=0, або 4 x₁ –364=0, звідки x₁ *=91; x₂ *=89. Так само як і вище, встановлюємо, що в даній точці функція f має мінімальне значення.

3.13. Знайти точки екстремуму функції f=х₁ ² +х₂ ²при умові х₁ + х₂ =5.

Розв’язок. Складемо функцію Лагранжа

F(х₁, х₂,λ)= х₁ ² +х₂ ²+λ(5– х₁ – х₂),

знайдемо її частинні похідні по х₁, х₂ і λ іприрівняємо їх до нуля. У результаті одержимо систему рівнянь

З першого і другого рівнянь маємо х₁–х₂ =0. Вирішуючи це рівняння разом із третім із системи (23), знаходимо х₁ =5/2; х₂ =5/2. Таким чином, у точці (5/2; 5/2) дана функція може мати умовний екстремум. Щоб визначити, чи досягається в цій точці умовний екстремум, потрібно провести додаткові дослідження. Зокрема, використовуючи другі частинні похідні, можна показати, що в цій точці функція має умовний мінімум і F_min= 25/2.

Метод множників Лагранжа можна застосовувати і у тому випадку, коли умови зв’язку являють собою нерівності. Так, якщо потрібно знайти екстремум функції z=f (X)за умови g (X)≤ b,то спочатку варто знайти точки безумовного екстремуму функції z=f (X)з рівнянь ,потім серед цих точок відібрати ті, координати яких задовольняють умові зв’язку g (X)< b,і, нарешті, визначити точки, що задовольняють системі рівнянь

Точки, знайдені в результаті Розв’язок цієї системи, разом із точками, що визначені на першому етапі і задовольняють умові g (X)< b,підлягають подальшому дослідженню, як і при знаходженні безумовного екстремуму.

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒