Задачи вступительных экзаменов
Задача 6. Кубик плотности ρ находится в равновесии под наклонной стенкой (угол наклона α) в жидкости плотности ρж >ρ и удерживается невесомой пружиной. Между стенкой и кубиком - тонкий слой жидкости. До какой величины растянута пружина, если в отсутствии жидкости подвешенный на нее кубик растягивает ее до величины l, а длина ненагруженной пружины l0? Краткое решение. Растяжение пружины пропорционально нагрузке. Тонкий слой жидкости передает давление - в результате можно находить выталкивающую силу обычным путем
Решение. Давление в столбике воздуха равно весу столбика жидкости над воздухом, деленному на площадь сечения трубки. При изменении температуры изменится и высота столбика жидкости, и его плотность. Но масса останется прежней. Прежним останется и вес столбика, а, следовательно, не изменится и давление воздуха. Поэтому отношение объемов воздушного столбика при температурах Т =293 К и Т0 = 273 К равно отношению температур, и следовательно,
Задача 9. Цилиндрический сосуд с легким и тонким приставным дном, плотно прилегающим к стенкам сосуда, опущен в воду так, что дно находится на глубине Н=4 см, и удерживается неподвижно (рис.16). Гирю какой минимальной массы и куда надо поставить на дно, чтобы оно отвалилось? Диаметр дна D=10 см, размеры гири считать малыми по сравнению с диаметром сосуда. Решение. Гирю нужно поставить как можно ближе к стенке сосуда — при этом необходимая для отрыва дна масса будет минимальной. Будем считать приставное дно жестким. Тогда сила, с которой дно давит снизу на сосуд (а значит, и сила, действующая со стороны сосуда на дно), будет приложена в точке касания с противоположной от гири стороны. Запишем уравнение моментов относительно этой точки: ρgH Нужно сказать, что ответ сильно зависит от того, как «устроен» контакт дна с цилиндром — наша модель взаимодействия, а потому и решение, не единственные.
Краткое решение. Из условия равновесия получаем Мg+рS = р1S. По закону Бойля - Мариотта имеем рН = р1(Н - х). Решая систему, получаем V = HS/(1 + SD/ Мg).
Решение. Воздух из нижней части сосуда начнет проходить через отверстие вверх, когда давление его превысит гидростатическое давление воды на уровне отверстия, то есть при давлении p= p0 + ρg(h–x), где х - понижение уровня воды в верхней части сосуда и, соответственно, толщина слоя воды в нижней части сосуда. Так как температура воздуха не меняется, согласно закону Бойля-Мариотта p0hS=p(h–x)S, где S - площадь дна сосуда. Таким образом, р0(h – x) + ρg(h – x)2 = p0h, откуда ρgx2 – (2ρgh + p0)x + ρgh2 = 0. Решая это уравнение, находим х:
Решение. Обозначим высоту уровня жидкости над пробкой через Н. Запишем условие отсутствия движения пробки: рсрS ≥Fтр+рS, где рср= р + ρg(H+ h/2), S = а h (а - ширина пробки), Fтр = k(ρgH + р) lа. Отсюда получаем
Задача 13. Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности ρ. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса R. Снизу в баке имеется отверстие площади s, закрытое пробкой массы m. Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить силу f. С какой максимальной угловой скоростью можно вращать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала? Решение.
Выделим мысленно тонкий горизонтальный столбик жидкости с площадью поперечного сечения σ (рис.20). Центр масс этого столбика движется по окружности радиуса R/2. Запишем уравнение движения столбика: Поэтому сила, действующая на пробку со стороны жидкости, равна Как следует из условия, пробка вылетает из бака при Fтp = f + sρgH. Учитывая это, найдем угловую скорость вращения, при которой пробка вылетит: ω=
Решение. Представим себе, что кубик льда, помещенный в сосуд, растаял в воде. Масса воды в сосуде будет равна массе первоначальной воды (в сосуде без льда) плюс масса воды, образовавшейся из льда, то есть плюс масса кубика. Объем, занимаемый этой "дополнительной" водой, равен Vв = Sh; масса этой воды m = rвV= rвSh – равна массе ледяного кубика; но масса кубика равна m = rлVл= rл×а3 (а – длина ребра кубика). Следовательно, rвSh = rл×а3, откуда Задача 15. В цилиндрическом стакане с водой плавает льдинка, притянутая ко дну ниткой (рис). Когда льдинка растаяла, уровень воды в стакане понизился на Δh. Каково было натяжение нити? Площадь дна стакана S. Решение. На основании второго закона Ньютона, запишем равенства: Т = Fa – mg; Fa = pвgVп; m = ρлVл. T- pвgVп - ρлVлg (1) V1=Vв +Vп; V2 =Vв+V'; V'=mл/ρв; h1 = hв+Vп/S; h2 =hв + mл/ρвS; Δh=Vл/S - mл /ρвS; Vп= (рвSΔh+ ρлVл)/ρв . Получаем Т= ρвgSΔh. Задача 16. В сосуд с поперечным сечением 12 см2, частично заполненный водой, положили деревянный кубик, ребро которого имеет длину 2 см. На сколько изменится уровень воды в сосуде? Плотность дерева принять равной 700 кг/м3. При помещении кубика вода не переливается через края сосуда.
Решение. Кубик, плавая в воде, вытеснит объем V = ΔhS. Объем вытесненной волы равен объему погруженной в воду части кубика. На кубик действует сила тяжести и архимедова сила: mg-ρвgV=0. Отсюда V = mg/ρвg = Изменение высоты уровня воды в сосуде составит Δh =V/S = Задача 17. Плотность некоторой жидкости меняется с глубиной по закону: ρ(h)= ρ(0)(1+αh), где ρ(0) - известная постоянная. Для измерения константы α в жидкость опускают тяжелый цилиндр длиной l и сечением s, который висит вертикально на нити, привязанной к динамометру. Разность показаний динамометра равна ΔF в положениях, когда верхняя грань цилиндра совпадает с поверхностью жидкости и когда она же находится на глубине h = l от поверхности. Найти по этим данным величину α. Решение. Разность показаний динамометра определяется разностью давлений на верхнюю и нижнюю грани цилиндра, находящегося в жидкости. Так как плотность жидкости меняется с глубиной по линейному закону, давление меняется по закону: p(h)=p(0)+p(0)g (h +αh2/2). Если m - масса цилиндра, то в первом случае показание динамометра равно F1= mg - ρ (0)g(l +αl2/2)s, а во втором – F2= mg - ρ (0)g(l +2αl2/2)s. По условию ΔF = F1 – F2, откуда находим: α = Задача 18. Какова минимальная масса проволоки из алюминия, которую следует намотать на пробку массы m=20 г, чтобы пробка вместе с проволокой полностью погрузилась в воду? Плотность пробки ρn= 0,5·103 кг/м3, алюминиевой проволоки ρnp= 2,7·103 кг/м3, воды ρ=103 кг/м3. Решение. При полном погружении пробки с проволокой в воду выталкивающая сила будет равна rвg( Задача 19. В колбе находится некоторое количество воды, в которой плавает пробка. На сколько процентов изменится объём надводной части пробки, если из колбы выкачать воздух? Плотностью образовавшихся после откачки паров воды пренебречь. Плотность воздуха 1,3 кг/м3.
ρ(V0 -V1)g - ρпV0g = 0. Отсюда Подводная часть пробки потеряла в объеме Задача 20. Сосуд заполнен жидкостью плотности ρ до уровня Н. Отверстие площади S в дне перекрыто снизу пластинкой, которая связана нитью с поплавком, наполовину погруженным в жидкость. С какой силой пластинка давит на дно, если при повышении уровня жидкости на величину h (при которой поплавок полностью погружен) жидкость начинает выдавливаться из отверстия? Массами поплавка, нити и пластинки пренебречь.
Краткое решение. Уравнения равновесия ρgНS+ F= FА/2, ρg(Н+h)S=FА. F = При h < Н вода вытекала бы также и в начальном положении.
Решение. Когда грузик окажется в воде, сила натяжения нити станет меньше на величину выталкивающей силы — силы Архимеда FA=Mg/n. Уровень воды в сосуде при этом поднимется, и сила давления воды на дно увеличится на такую же величину (третий закон Ньютона). Для симметричного сосуда точка приложения этой добавочной силы находится в середине дна сосуда. Очевидно, что сумма сил реакций опор останется прежней: N'1+ N'2=N1+N2. Поэтому, если сила N'1, действующая со стороны левой опоры, станет на величину f больше прежней, то сила N'2 станет на такую же величину меньше. Из равенства нулю суммарного момента добавочных сил, действующих на систему: 2f L/2 =FA l получаем f = FA l /L = Mg l /(nL). Тогда окончательно N'1=N1+ f = N1+Mgl/(nL), N'2= N2- f = N2- Mg l /(nL). Задача 22. Цилиндрический сосуд, закрытый невесомым поршнем площадью сечения S, содержит газ под атмосферным давлением р0. Объем газа при этом равен V0. Сосуд погружают в воду (плотностью ρo) так, как показано на рисунке. Найти зависимость расстояния х между поршнем и поверхностью воды от модуля F силы, удерживающей нить, которая привязана к поршню. Решение. Условие равновесия поршня на глубине X – pS + F = (p0 + ρ0gx)S. (2)
Задача 23. Тонкостенная трубка ртутного барометра открытым концом опирается на дно чашки с ртутью. Закрытый конец удерживается вертикальной нитью, так что трубка составляет угол α с вертикалью (рис.25). Длина трубки l, масса m, плотность ртути ρ, атмосферное давление h мм рт. ст. Найти силу натяжения нити. Размером погруженной в ртуть части трубки пренебречь. Площадь сечения трубки S. Решение. Так как трубка барометра находится в равновесии, то сумма моментов всех сил, действующих На трубку со ртутью, относительно любой оси должна быть равна нулю. Запишем условие равновесия для оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку A, в которой трубка опирается на дно сосуда: Тlsin α - mg Здесь Т — сила натяжения нити, mg — сила тяжести трубки, Mg = ρxSg — вес ртути, находящейся в трубке, х — длина столбика ртути. Давление столбика ртути в трубке равно атмосферному давлению, поэтому x =
Решение. Пусть разница уровней жидкости наружи внутри перевернутого стакана равна х. Тогда по закону Паскаля ρgх + Ро = Р, для запертого перевернутого стакана по Бойлю - Мариотту Р0Н = Р(Н - h1+ х), из условия равновесия перевернутого стакана (Р - Ро) = mg/S, а для не перевернутого плавающего - ρgh2 = mg/S. х = h2. Получаем Ро= ρgh2(H + h2 - h1)/(h1- h2). Задача 25. На квадратном деревянном плоту размером 2x2x0,3 м, сделанном из дерева плотностью 800 кг/м3, стоит человек массой 80 кг. На какое расстояние от центра плота он должен отойти, чтобы, край плота окунулся в воду? Решение. Пусть в начальный момент человек находится в центре плота. Запишем условие равновесия системы «человек — плот» в виде Mg + mg = ρвgSh, где m — масса человека, M=ρV—масса плота, ρв — плотность воды, S — площадь плота, h — глубина погружения его в воду. Отсюда находим h = 0,26 м. Теперь рассмотрим ситуацию, когда человек отошел от центра на расстояние l, и край плота окунулся в воду (см. рисунок). Поскольку система по-прежнему находится в равновесии, объем погруженной части плота измениться не должен: Sh = SH - Нам осталось записать уравнение моментов сил относительно центра масс плота. Моменты создают следующие силы (только они и изображены на рисунке): сила тяжести человека mg, архимедова сила РА1, действующая на погруженную не заштрихованную на рисунке часть плота, и архимедова сила РА2, действующая на заштрихованный участок, причем точка ее приложения лежит в точке пересечения медиан выделенного треугольника (т. е. плечо этой силы равно L/2—L/3 = L/6, где L = 2 м — длина плота). Поэтому получаем равенство mgl соs α + ρвL2h0
Решение. Льдину считаем настолько длинной, что длина ее и диагональ практически равны между собой. По условию равновесия груза на льдине в случае расположения его в центре льдины ρлgV + Mg = ρвgV, где V – объем льдины; получаем V= M/(ρв- ρл) = 1м3. При перемещении груза на край льды равновесие системы определяется равенством моментов сил, действующих на систему. При этом помним, что центр тяжести, а, значит, и точка приложения выталкивающей силы, действующей на треугольную фигуру, находится на расстоянии 1/3 от ее основания. Представив разрез льдины в виде трех фигур – равных по площади треугольников 1 и 2, и прямоугольника 3, определим точки приложения выталкивающей силы, действующей на части 2 и 3, находящиеся в воде. Для части 3 такой точкой является геометрический центр О. Точка С части 2 находится на расстоянии 2/3 l от точки А. Тогда объем подводной части V'=V3+V2=V-V1 можно найти различными способами, например, правилом моментов относительно точки В: ΣМВ= 0 ρлgV l /2 - ρвgV3 l /2 - ρвgV2 · l /3= 0; получим V'=0,075 м3. Тогда правило моментов относительно противоположной точки льдины дает возможность рассчитать массу груза в точке В: ΣМА= 0 M1g l /2 = ρв gV' l (2/3-1/2); M1=1/3·0,075·103 = 25 кг.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|