2.5.1. Использование метода понижения порядка производной для составления схемы моделирования.
Разрешим относительно старших производных: Формируем левую часть уравнения, начиная с суммирующего блока. Переменные считаем условно известными получаем (со знаком «минус», поскольку каждый этап преобразования осуществляется инвертирующим ОУ) Формируем правую часть путём непосредственного интегрирования – получаем последовательно . Замыкаем выходы блоков на соответствующие входы с учётом знака, в случае необходимости вводим инверторы.
Поскольку в линейной системе действует принцип суперпозиции, операции суммирования и интегрирования можно совместить, в результате схема упрощается
Схема готова – можно переходить к расчёту. Выбор масштабных коэффициентов: На основе 3-й системы электромеханических аналогий все переменные исходных уравнений представлены напряжениями в различных точках модели. Масштабный коэффициент показывает, какое напряжение соответствует единице физической переменной: Для повышения точности решения задачи стремятся использовать всю шкалу возможных значений машинных переменных, поэтому масштаб стремятся выбирать из условия: Правильным выбором масштабных коэффициентов можно уменьшить разброс величин коэффициентов машинных уравнений, а, следовательно, повысить точность решения. Необходимо лишь не допускать выхода машинных переменных за границы допустимых значений. ПРИМЕР: начальные условия: Введём масштабные коэффициенты: Разрешим относительно старших производных:
Для уменьшения разброса коэффициентов примем . Тогда: При этом если
2. 5. 2. Выбор масштаба времени: Обусловлен желаемым временем решения задачи с учётом ограничений, накладываемых частотными характеристиками решающих блоков, регистрирующих устройств, коммутирующих элементов, а также погрешностями интегрирующих блоков, обусловленных, например, утечками в конденсаторах и т. д. Масштаб времени входит в машинные уравнения в виде множителей при производных, зависящих от порядка производных: ; ; . Стремление ускорить масштаб времени обусловливается как желанием быстрее получить результат, так и уменьшить погрешность от дрейфа. Однако ускорение ограничено возрастанием величин производных, что приводит к насыщению решающих блоков (нелинейный режим - ошибка) Правильный выбор может способствовать сокращению разброса параметров параметров при реализации жёстких уравнений. ПРИМЕР: Перейдём к машинному уравнению: Разрешаем относительно старшей производной Пусть ; тогда Замена переменных: Для решения уравнений, в которых независимая переменная не являются временем, осуществляют замену этой переменной на время путём подстановки. ( ) и далее решают обычным способом как обычное дифференциальное уравнение временным аргументом. 2. 5. 3. Расчёт коэффициентов передачи решающих блоков: После составления функциональных схем набора требуется определить коэффициенты передачи по входам решающих блоков. Порядок может быть следующий: По функциональной схеме записать уравнения, связывающие машинные переменные входах и выходах решающих блоков. Полученную систему уравнений разрешить относительно входных и выходных переменных моделируемой системы. Машинные переменные заменить исходными с учётом масштабных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при соответствующих производных исходных и полученных уравнений, получают систему уравнений, связывающую коэффициенты исходных уравнений с коэффициентами передачи решающих блоков.
ПРИМЕР: Колебательное звено: Уравнение в операторном виде: Для функциональной схемы: Подставляем: Поскольку число уравнений меньше числа неизвестных коэффициентов, некоторые из них можно задавать из условия распределения коэффициентов по блокам в пределах максимально допустимых значений. Общее правило: коэффициент исходного уравнения равен произведению коэффициента передачи контура, внутри которого определяется переменная, стоящая при определяемом коэффициенте, умноженному на , где - число интеграторов в контуре. Коэффициент в правой части исходного уравнения равен произведению К передачи от места приложения воздействия до выхода системы, умноженному на отношение входных и выходных переменных и , где n – порядок дифференциального уравнения. Начальные условия преобразуем в соответствием с масштабным соотношением, т. е. ; ; . При программировании систем ДУ функциональные схемы строят отдельно для каждого уравнения и затем осуществляют необходимые связи. ПРИМЕР: Моделирование движения ЛА в вертикальной плоскости. Здесь - тангаж - траекторный угол - угол атаки - угол поворота руля высоты Коэффициенты отражают свойства ЛА - аэродинамическое демпфирование - статическая устойчивость - эффективность руля высоты - маневренные возможности ЛА Приведём к виду удобному для набора:
2. 5. 4. Воспроизведение дробно-рациональных передаточных функций Преобразуем исходную ПФ ,
вводя новую переменную u: . (1)
В результате получаем , в дифференциальной форме: . (2) Выражение (1) также можно записать в дифференциальной форме: . (3) Для составления структурной схемы набора необходимо сначала «набрать» уравнение (3) по методу понижения порядка производной, а затем образовать искомую переменную у в виде суммы производных от и с соответствующими коэффициентами. Значения производных получаются непосредственно с соответствующих выходов интеграторов при решении уравнения (3). Некоторое упрощение схемы набора может получиться, если в уравнении (2) исключить старшую производную u подстановкой её значения из уравнения (3).
В результате приходим к уравнениям Функциональная схема реализации этих уравнений для т = п = 3приведена на рисунке. В общем случае для набора необходимо иметь п + 3 решающих блока. Для определения коэффициентов при наборе задачи не требуется выполнения трудоёмких вычислений. ∫
Функциональная схема реализации дифференциального уравнения,
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|