Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Дифференцируемость и дифференциал функции




Дифференциальное исчисление

Функций одной переменной

Производная

Пусть функция f определена в V (x 0). Придадим точке х 0 произвольное приращение так, чтобы x 0+ x V (x 0). Тогда функция f (x) получит приращение

.

Рассмотрим - функцию, определённую в .

Определение 1. Производной функции f в точке х 0 называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается , , , , .

Таким образом, по определению 1 . (1)

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а , -Лагранж (1736-1813).

Производная функции в точке – число.

Пусть , , х V (x 0). Тогда (1) равносильно

. (2)

Если , то говорят, что в точке х 0 существует бесконечная производная, равная . Обозначается ().

Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х 0 называют правый (левый) предел отношения при , если этот предел существует.

, .

Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х 0.

Справедливо следующее утверждение: функция f имеет в точке х 0 производную тогда и только тогда, когда и существуют и равны. Тогда .

Пусть f имеет производную в каждой точке . Поставим в соответствие точке х производную функции в этой точке: , . Это соответствие определяет функцию аргумента х, определённую на . Она называется производной функцией от функции f.

Значение в точке х является производной функции в точке х (может быть числом, ).

Примеры.

1) y = f (x)= c . .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

.

.D

Производная постоянной функции тождественно равна нулю: .

2) y = f (x)= x, .

D Выберем , придадим значению х приращение . Тогда

. D

.

3) y = f (x)=| x | .

D Пусть х <0, .

Пусть х >0, .

Пусть х =0, ,

.

Т.к. ,то не существует. D

 

Дифференцируемость и дифференциал функции

 

1. Дифференцируемость функции

Пусть y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х 0 V (х 0). Возьмём : , .

Определение 1. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (1)

где - некоторое число, не зависящее от ,

- функция от , бесконечно малая при , т.е. .

Замечание 1. В (1) мы предполагали, что . Значит, в точке функция , вообще говоря, не определена. Будем считать, что . В таком случае непрерывна в точке , и равенство (1) справедливо и при .

Замечание 2. Так как при , то . Тогда (1) можно записать в виде:

. (2)

Пример. Доказать, что функция дифференцируема в точке х =1.

D Придадим х =1 приращение , получим . Тогда

.

Здесь А =-1, . Значит, f (x) дифференцируема в точке х =1. D

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке х 0 необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную , при этом .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f (x) дифференцируема в точке х 0, т. е. , где . Пусть . Тогда .

Так как существует правой части: , то существует и левой части: , и эти пределы равны: .

2) Достаточность.

Пусть существует , то есть существует . Тогда по необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке , где - бесконечно малая при . Следовательно, по определению (1) f (x) дифференцируема в точке х 0.

Из этой теоремы следует определение 2, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если она в этой точке имеет конечную производную.

Операция нахождения производной функции f (x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f (x).

Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f (x) дифференцируема в точке х 0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Так как f (x) дифференцируема в точке х 0, то

.

Значит, по определению функция непрерывна в точке х 0.

Следствие. Если функция f (x)имеет в точке х 0 производную, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Предположение, обратное т. 2, неверно. Функция, непрерывная в точке х 0, может не быть не дифференцируемой в этой точке.

Пример. y = f (x)=| x | - непрерывна в точке х 0=0, но не дифференцируема в ней.

 

2. Дифференциал функции

Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х 0. Тогда приращение функции может быть представлена в виде суммы двух слагаемых.

1) - линейная функция относительно (содержит в первой степени),

2) - бесконечно малая функция высшего порядка, по сравнению с при .

Пусть . Покажем, что при .

.

Т. к. , то .

Говорят, что при является главной частью бесконечно малого приращения функции .

Определение 3. Дифференциалом функции f (x) в точке х 0 называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy,

.

Если =0, то по определению =0.

Правило вычисления дифференциала следует из его определения. Дифференциал функции в точке х 0 равен произведению производной функции в этой точке на приращение аргумента.

Тогда (1) можем записать в виде

= , .

Пример. Найти приращение и дифференциал функции в произвольной точке .

D Пусть х - произвольное действительное число. Придадим х приращение , тогда

.

Значит, . D

Рассмотрим функцию , , то есть для независимого аргумента х дифференциал и приращение совпадают: .

Определение 4. Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение : .

Тогда из определения дифференциала следует

.

Отсюда .

3. Применение дифференциала к приближённым вычислениям

При и dy 0. Как было показано, при 0 имеет место приближенное равенство , (в общем случае ), которым пользуются при нахождении приближённых значений функций.

, .

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...