Поляризованность диэлектрика. Её свойства.
Поляризованность диэлектрика. Определение. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют физически бесконечно малый объем , содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют отношение (1) Определенный таким образом вектор называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному моменту единицы объема вещества. Есть еще два полезных представления вектора . Пусть в объеме содержится диполей. Умножим и разделим правую часть выражения (1) на . Тогда можно записать где — концентрация молекул (их число в единице объема); — средний дипольный момент одной молекулы. Другое выражение для соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидкостей». Выделим очень малый объем внутри диэлектрика. При возникновении поляризации входящий в этот объем положительный заряд сместится относительно отрицательного заряда на величину , и эти заряды приобретут дипольный момент . Разделив обе части этого равенства на , получим выражение для дипольного момента единицы объема, т. е. вектор : Единицей поляризованности является кулон на квадратный метр (Кл/м2). Связь между и . Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность зависит линейно от напряженности Е поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то
где — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от , она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда >0. Свойства поля вектора Теорема Гаусса для поля вектора . Как мы сейчас покажем, поле вектора обладает следующим замечательным и важным свойством. Оказывается, поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е. (2) Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора . Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая поверхность S охватывает часть диэлектрика (рисунок, где диэлектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется — положительные заряды сместятся относительно отрицательных. Найдем заряд, который проходит через элемент dS замкнутой поверхности S наружу. Пусть и — векторы, характеризующие смещения положительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности dS наружу поверхности S выйдет положительный заряд , заключенный во «внутренней» части косого цилиндра. Кроме того, через элемент dS войдет внутрь поверхности S отрицательный заряд , заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направлении. Учитывая это, можно записать суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как Поскольку где — расстояние, на которое сместились относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды диэлектрика при поляризации. Далее, согласно и , или
Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверхности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого поверхностью S, он равен В результате внутри поверхности S останется некоторый избыточный связанный заряд q'. Ясно, что вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (2).
В дифференциальной форме уравнение (2) — теорема Гаусса для поля вектора — имеет следующий вид: т. е. дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке. Объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов (). Действительно, из основного свойства поля вектора (2) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив на согласно , вынести и из-под знака интеграла и записать Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рассматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. . Поэтому , откуда (3) Это соотношение между избыточным связанным зарядом и сторонним зарядом справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда и . Тогда (3) после сокращения на dV примет вид Значит, в однородном диэлектрике , если . Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю. Граничные условия для вектора . Рассмотрим поведение вектора на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью и поверхностной плотностью связанных зарядов на границе раздела диэлектриков. Для этого воспользуемся свойством (2) поля вектора Р. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны границы раздела (рисунок). Высоту цилиндра будем предполагать ничтожно малой, а площадь каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности связанного заряда). Пусть — общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор от диэлектрика 1 к диэлектрику 2.
Пренебрегая потоком вектора сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (2): где и — проекции вектора в диэлектрике 2 на нормаль пив диэлектрике 1 на нормаль (рисунок). Учитывая, что проекция вектора на нормаль равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль , т. е. , пере пишем предыдущее уравнение после сокращения на в следующем виде: Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв, величина которого зависит от . В частности, если среда 2 вакуум, то , и условие () приобретает более простой вид: где — проекция вектора на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика. Знак проекции определяет и знак поверхностного связанного заряда в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой можно записать: где — проекция вектора (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак определяет знак . Замечание о поле вектора . Соотношения и нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Поле вектора , как и , зависит от всех зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы и связаны друг с другом соотношением . Связанные заряды определяют не поле вектора , а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность S.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|