Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Вычисление площадей плоских фигур

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

Пусть функция определена на отрезке . Разделим отрезок [ a,b ] на n произвольных частей точками a=x0 <x1 <x2 ……<xn-1<xn =b, выберем на каждом элементарном отрезке [ xk-1,xk ] произвольную точку xk и найдём длину каждого такого отрезка: D xk=xk-xk-1. Тогда интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a,b ] называется сумма вида

 
 

 

 


Эта сумма имеет конечный предел J, если для любого, сколь угодно малого положительного числа e>0 найдётся такое число d>0, что как только длина наибольшего из элементарных отрезков станет меньше чем d (то есть выполнится неравенство max D xk <d) неравенство |s-J|<e будет выполняться при любом выборе точек xk внутри элементарных отрезков[ xk-1,xk ].

Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [ a,b ] (или в пределах от a до b) называется число J, являющееся пределом интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max D xk) стремится к нулю:

 
 
b n J=ò f(x) dx= lim s = lim Sf(xk ) Dxk a max DXk®0 max DXk®0 k=1


Теорема. Если функция f(x) непрерывна (кусочно-непрерывна) на [ a,b ], то предел интегральной суммы при max D xk ®0 существует и не зависит ни от способа разбиения [ a,b ] на элементарные отрезки, ни от выбора точек xk.

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

 

Основные свойства определённого интеграла:

b а

1. ò f(x) dx = -ò f(x) dx

a b

a

2. ò f(x) dx=0

a

b c b

3. ò f(x) dx= ò f(x) dx + ò f(x) dx

a a c

b b b

4. ò [f1(x)±f2(x)]dx= ò f1(x) dx ± ò f2(x) dx

a a a

b b

5. ò C f(x) dx=Cò f(x) dx

a a

6. Оценка определённого интеграла: если m£f(x)£M на [ a,b ], то

b

m(b-a)<ò f(x) dx<M(b-a).

a

Приемы вычисления определённого интеграла

 

1. Формула Ньютона-Лейбница:

b

òf(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) любая первообразная для f(x), т.е. F¢(x)=f(x).

a

2. Интегрирование по частям

b b b

òUdV = UV½ - òVdU, где U=U(x) и U=U(x) - дифференцируемые на отрезке

a a a

[a,b] функции.

 

3. Замена переменной:

b b

òf(x)dx = òf[j(t)]j¢(t)dt, где x=j(t) - функция, непрерывная вместе со своей

a a

производной на отрезке a£t£b, a=j(а), b=j(b), f[j(t)] - непрерывная на [a,b].

a

4. а) Если f(x) - нечетная функция, т.е. f(-x) = -f(x), то òf(x) dx=0

-a

б) Если f(x) - четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то f(x)dx = 2 f(x) dx

Примеры:

________

1. Вычислить .

Используем табличный неопределенный интеграл вида òUndU для нахождения первообразной функции и применим формулу Ньютона-Лейбница.. В подынтегральном выражении степенная функция умножается на дифференциал от её основания.

Найдём дифференциал от основания данной степенной функции - d(x+1)=dx, тогда имеем:

 

2. Вычислить .

Для вычисления этого интеграла используем табличный вида ò .

Так как x8=(x4)2 и d(x4) =4x3dx, то

 

=

3. Вычислить

В этом примере используем табличный интеграл вида òeU dU. Найдём дифференциал от показателя степени d(1-2/x)=2/x2 dx, тогда можно записать

 

 

4. Вычислить xe-x dx

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим U=x, dU=e-x dx,

Тогда dU=dx, U=-e-x.

1 1 1 1

òxe-x dx=-xe-x ½+òe-x dx= - e-1 - e-x½=-2e-1+1=(e-2)/e

0 0 0 0

5. Вычислить

Интегрируем по частям. Положим U= ln tgx, dU= dx, тогда

dU= , U=òdU=ò dx=tgx

6. Вычислить .

Введём переменную 1+lnx=t, lnx=t-1, тогда dx/x =dt. Находим новые пределы интегрирования tн=1+ln1=1, tв=1+ln e3 =1+3ln e=1+3=4, следовательно,

e3

 

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть представлена в виде суммы или разности площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси 0x или 0y.

 

1. Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой имеет вид y=f(x), осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где a£x£b, f(x)³0, находится по формуле:

 
 


b У

S=òf(x) dx y=f(x)

a

S

О

a b Х

2. В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=a и х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле

b y

S=ò½f(x)½ dx a b x

a О

S

 
 


3. Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу так, что c£y£d, x=j(x), то площадь плоской фигуры находится по формуле

 

 
 


d y

S=òj(y) dy х=j(y)

c d

S

c x

 

 

4. Если фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и прямыми x=a и x=b, где a £ x £ b и f1(x)£ f2(x), то её площадь находится по формуле

b У y=f2(x)

S=ò[f2(x)-f1(x)] dx

a S

 

y=f1(x)

 

 

 
 


a b Х

 

5. Если кривая, заданная уравнением y=f(x) на отрезке [a,b], пересекает ось Ох в точках х1 и х2 и располагается между этими точками под осью Ох, то вся площадь фигуры, заключённой между кривой, соответствующей этому уравнению, осью Ох и прямыми x=a и x=b,выразится так:

 

У

x1 x2 b b

S = òf(x)dx + ò½f(x)½dx + òf(x)dx = ò½f(x)½dx

a x1 x2 a

О x1 x2 Х

a b

 

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой y=x2+1, прямыми x=-1, x=2

Решение: Построим данную фигуру. Площадь фигуры ABCD находим по формуле

b У

S=òf(x) dx, где f(x)=x2+1, a=-1, b=2.

a

Следовательно, B C

2 2

S=ò(x2+1) dx=( +x)½= ( +2)-(- -1)= 6 (кв.ед.)

-1 -1

А D

-1 2 Х

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-6x+9 и y=x-1

Решение. Данная фигура ограниченна параболой y=x2-6x+9 и прямой y=x-1.

Определим точки пересечения этих линий, решив систему уравнений

 

 

Находим

x2-6x+9=x-1

x2-7x+10=0 Þ x1=5, x2=2, y1=4, y2=1

Построим данную фигуру.

Используем для нахождения искомой площади

формулу

b 2 5 x

S=ò[f2(x)-f1(x)] dx

a

где f1(x)=x2-6x+9, f2(x)=x-1, a=2, b=5.

5 5

Тогда S=ò(x-1-x2+6x-9) dx=(- + x2-10x)½=- +7 -

2 2

- 50+ +20=4,5 (кв. ед.).

 

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х=Öу, х=0, у=4.

Решение: Построим заданные линии.

Y

Так как полученная криволинейная трапеция прилежит к

оси Оу, то применим формулу

d _

4 S=òj(y) dy, где j(y)=Öy, c=0, d=4

S= Öy dx= ½=

0 Х

1

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у=-х2, у=х-2, у=0

Решение: Построим заданные линии.

Y Из чертежа видно, что искомая площадь S

криволинейного треугольника OAB может

0 1 2 x рассматриваться как площадь над кривой OAB на

C B отрезке [0,2].Однако указанная кривая задаётся не

одним уравнением.

A Поэтому разобъём криволинейный DOAB на

части, проецируя т.А на ось Ох.

у=-х2 Тогда S=SOAC+SCAB. Абсциссы точек О,А,В

задают пределы интегрирования.

у=х-2 1 1

SOAC=ò½-x2½ dx=½- ½½=½- ½=

02 0 2

SCAB=ò½x-2½dx=½x2/2-2x½½=½2-4- +2½=

1 1

S= (кв. ед.)

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...