Первый признак сравнения рядов.
Пусть и – два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3,... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость . Второй признак сравнения. Пусть и – знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость . Третий признак сравнения. Пусть и – знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость . Признак Даламбера. Пусть – знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Радикальный признак Коши. Пусть – знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Интегральный признак Коши. Пусть – знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале [ a; +∞), где a ≥ 1). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.
ВАРИАНТЫ Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.
ЗАДАНИЯ Исследовать сходимость рядов: 1) 2) 3) 4) ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Ознакомиться с теоретическими сведениями. 2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени. 3. Записать исходные данные. 4. Решить задания. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Признаки сходимости. 2. Радиус и область сходимости. 3. Практическая работа №17 Цель: Научиться раскладывать функцию в степенной ряд и применять его для приближенных вычислений с заданной точностью. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n +1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора: , где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением , a < ξ < x. Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: . Разложение некоторых функций в ряд Маклорена , −1 < x ≤ 1. Ряд Фурье. Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2 π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [− π, π ]. 1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2 π абсолютно интегрируема в интервале [− π, π ]. При этом является конечным, так называемый интеграл Дирихле: ; 2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).
Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции. Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде , где коэффициенты Фурье a 0, an и bn определяются формулами , , . Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2 π не содержит синусов и имеет вид , где коэффициенты Фурье определяются выражениями , . Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2 π, содержит только синусы и имеет вид , где коэффициент равен . ВАРИАНТЫ Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.
ЗАДАНИЯ 1) Используя разложение в ряд Маклорена, вычислите с точностью до . 2) Разложить в ряд Фурье . ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Ознакомиться с теоретическими сведениями. 2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени. 3. Записать исходные данные. 4. Решить задания. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Ряд Тейлора и Маклорена. 2. Ряд Фурье. 3.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|