 |
Формулы для расчета погрешности результатов эксперимента
|
|
|
|
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Явление интерференции можно наблюдать, в частности, при освещении тонких прозрачных пленок, когда разделение световой волны на когерентные пучки происходит при отражении света от двух поверхностей пленки. Эти волны при наложении дают локализованные интерференционные картины, зависящие от формы пленок, условий наблюдения и освещения
Пусть в точку О на прозрачную пластину падает пучок света (луч 1), часть света отражается от верхней поверхности пластины в точке О (луч 2), другая часть, преломившись в точке О, отражается от нижней поверхности (луч 3) (рис.1).
| Пусть n 1 и n 2 - показатели преломления среды и материала пластины соответственно, i - угол падения, r - угол преломления, d - толщина пластины. Определим оптическую разность хода D лучей 2 и 3: D = n2 (OC+СB) - n 1(OA). Из рисунка 1 видно, что: OC=OB= d /cos r, OA=OBsin i, OB=2 d tg r. | |
| Рис.1. |
Учитывая, что n 2 / n 1 = sin i /sin r, можно получить:
При вычислении разности хода необходимо учесть, что при отражении световой волны от границ раздела сред, если n 2 > n 1, фаза колебаний изменяется на p (это соответствует разности хода лучей l/2). В рассматриваемом случае если n 2 > n 1, то изменяется фаза луча 2; если n 2 < n 1, то фаза изменяется у луча 3 в точке C. С учетом этого выражение для разности хода лучей следует записать так
Таким образом, разность хода лучей 2 и 3 определяется толщиной пластины, углом падения и показателями преломления.
Результат интерференции зависит от значения D. При D = m l (m=0, ±1, ±2….) получаются максимумы, при D=(2 m +1)l/2 - минимумы интенсивности.
При d =const (плоскопараллельная пластина) разность хода определяется только углом падения (рис.2). Для наблюдения интерференционной картины плоскопараллельную пластину освещают непараллельным пучком монохроматического света и параллельно ей располагают линзу, в фокальной плоскости которой находится экран.
|
|
|
| В отсутствие линзы интерференционная картина локализована в бесконечности, так как интерферируют параллельные между собой лучи. Лучи, падающие на пластину из точечного источника под одним и тем же углом, но в разных плоскостях(то есть в виде поверхности конуса), создают на экране совокупность точек с одинаковой освещенностью, которая, очевидно, будет иметь форму окружности. |
| Рис.2 |
Лучи, падающие под другим углом, образуют на экране окружность с другой освещенностью. Если для некоторого значения угла падения i выполняется условие D = m l, на экране образуется светлое кольцо, если D=(2 m +1)l/2 - темное. Такая картина носит название «полосы равного наклона».
Если пластина имеет форму тонкого клина (d ¹ const) и освещается параллельным пучком света(i = const) (рис.3), то оптическая разность хода интерферирующих лучей (а значит, условие максимума и минимума освещенности) зависит от толщины пластины в месте их прохождения. Интерференционная картина, наблюдаемая в этом случае, локализована над (или под) поверхностью клина и носит название полос равной толщины. Для правильного клина она представляет собой чередование светлых и темных полос параллельных ребру клина.
| Локализация полос равной толщины зависит от угла падения i и от угла клина a. при фиксированном a картина расположена тем ближе к поверхности, чем меньше угол падения, и для нормально падающего света (i =0) полосы равной толщины локализованы на поверхности клина. | 
|
| Рис.3 |
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются, когда выпуклая поверхность линзы малой кривизны соприкасается с плоской поверхностью хорошо отполированной пластины. При этом воздушная прослойка постепенно утолщается от центра к краям, выполняя роль клина из предыдущего примера. Кольца Ньютона можно наблюдать как в отраженном, так и в проходящем свете (рис.4).
|
|
|
| |||
| Рис.4 |
Пусть на линзу падает монохроматический параллельный пучок света по нормали к ее плоской поверхности. В результате сложения волн, отраженных от верхней и нижней границ воздушной прослойки, будет наблюдаться интерференционная картина. Так как для точек, равноудаленных от центра, толщина воздушной прослойки одинакова, то наблюдается следующая картина: в центре расположено темное пятно, окруженное рядом светлых и темных концентрических колец убывающей толщины (рис.4,а). При наблюдении в проходящем свете интерференционная картина будет негативная, т.е. в центре будет светлое пятно (рис.4,б).
Определим диаметр колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете. Поскольку при отражении на границе воздух-стекло происходит потеря полуволны l/2, оптическая разность хода двух интерферирующих волн на расстоянии rm от центра линзы равна D= 2 bm + l/2, где bm - толщина воздушного клина в этом месте. Условие минимума интенсивности, то есть образования темного кольца выполняется, если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн. Тогда для m -го темного кольца:
2 bm + l/2=(2 m + 1) l/2, или 2 bm = m l. (1)
| Величину bm можно вычислить из геометрических соотношений (рис.5). ОВ= ОА= R, где R - радиус кривизны линзы, тогда: R 2 = rm 2 + (R - bm)2 = rm 2 + R 2 - 2 Rbm + bm 2.Ввиду малости bm величиной bm 2 можно пренебречь. |
| Рис.5 |
С учетом этого приближения получаем
bm = rm 2/2 R (2)
Учитывая (1), имеем
rm2 = Rm l или dm2 = 4 Rm l, (3)
где d -диаметр m -го темного кольца.
Лабораторная установка для наблюдения колец Ньютона несколько отличается от рассмотренного классического варианта. Выпуклая линза лежит не на плоской пластине, а на вогнутой линзе большего радиуса кривизны R1.При этом толщина воздушного клина вычисляется на основании следующих выкладок. Пусть ОD = ОВ = R - радиус выпуклой линзы; О'D = О'В = R 1 - радиус вогнутой линзы; bm =DK-CK - толщина воздушного зазора (рис.6.).
Из рисунка видно, что
R 12 = rm 2 +(R -CK)2 и R 2 = rm 2 +(R -DK)2,
тогда rm 2 = 2 R 1 CK и rm 2 = 2 R DK,
следовательно 
(4)
В этом случае условие образования темного кольца запишется в виде
|
|
|
m l = rm 2 (1/ R - 1/ R 1). (5)
| Пользуясь этим уравнением, зная радиусы R и R 1, и измерив радиусы (или диаметры) соответствующих колец, можно определить длину волны l. Если же известна длина волны и радиус кривизны одной из линз, то можно вычислить радиус кривизны второй линзы. | 
|
| Рис.6 |
Обработку результатов в этой работе рекомендуется проводить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для каждой длины волны измеряют диаметры нескольких колец. Уравнение (5) можно переписать в виде
или 
(6)
Видно, что квадрат диаметра кольца линейно зависит от его номера, тангенс угла наклона линейной зависимости dm 2 = f (m) будет равен
tgj = 
(7)
На практике очень трудно осуществить идеальное соприкосновение двух линз в одной точке и без деформации. Поэтому реально получаемая линейная зависимость dm 2 = f (m) не будет проходить через начало координат, т.е. будет иметь вид не y =ax, а y = ax+c, и при расчетах следует пользоваться формулами для общего случая МНК.
Если tgj0 для известной длины волны l0 определен, то для расчета неизвестного радиуса кривизны из формулы (7) получаем выражение 
(8)
Для расчета неизвестных длин волн пользуются выражением
(9)
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
| |||||||||||
| Рис.7 | Рис.8 |
Схема установки представлена рис.7. Две линзы в общей оправе - плосковыпуклая К с радиусом R и вогнутая К1 с радиусом R 1 помещены на дно коробки с зачерненными стенками. Плоско параллельная пластина Р может вращаться относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, ее устанавливают в таком положении, чтобы лучи, отражающиеся от нее, падали вертикально на систему линз.
Источником света S служит ртутно-кварцевая лампа ПРК-2, имеющая линейчатый спектр излучения. Проходя через линзу L, свет образует параллельный пучок. Набор светофильтров F дает возможность выделить монохроматический свет с фиксированными длинами волн, соответствующими линиям ртутного спектра. Такая система позволяет наблюдать кольца Ньютона, образующиеся при интерференции света, отраженного от нижней и верхней границ воздушной прослойки между линзами К и К1. Для измерения диаметров колец (или хорд) служит измерительное устройство, снабженное двумя шкалами с нониусами (рис.8) и стрелкой-указателем, которую можно перемещать в двух взаимно перпендикулярных направлениях i и j с помощью винтов i и j.
|
|
|
Измерительное устройство позволяет фиксировать положение стрелки-указателя с точностью до 0,1 мм.
ПОРЯДОК РАБОТЫ
1. Включить ртутную лампу (включает дежурный по лаборатории или преподаватель).
2. Установить зеленый светофильтр.
3. Поворачивая в небольших пределах пластину Р, добиться хорошей видимости интерференционной картины.
4. С помощью винта j измерительного устройства определить положение центра (вначале на глаз). Затем, незначительно перемещая стрелку вдоль оси j, измерить по оси i несколько хорд для выбранного кольца. Естественно, что наибольшая из хорд и будет диаметром данного кольца.
Можно показать, что если положение центра по оси j определено с погрешностью, не превышающей 1мм, то это внесет в окончательные измерения погрешность не более 0.5%.
5. Измерить диаметры не менее 10 колец, начиная с четвертого, перемещая стрелку только винтом i и фиксируя координаты левых и правых концов диаметров.
6. Повторить измерения с красным и синим светофильтрами.
7. Построить график зависимости dm 2 = f (m), где m - номер кольца, dm - его диаметр.
8. По методу наименьших квадратов рассчитать тангенс угла наклона полученной прямой (y =ax+c, где y = d2, x = m, a= tgj 0)
9. Пользуясь формулой (8), по найденному значению tgj 0 и известной длине волны l0 рассчитать неизвестный радиус кривизны Rx и его погрешность l0 =546,07 ± 0.01 нм, R= 49,900 ± 0.001 см.
10. Вычислить по МНК тангенсы углов наклона tgj 1 и tgj 2 прямых отражающих зависимости dm 2 = f (m) для красного и синего цветов. Определить длины волн l1 и l2 красной и синей линий ртутного спектра и их погрешности.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Пользуясь формулами переноса ошибок и пренебрегая погрешностью длины волны, погрешность R можно записать так:
Погрешность для длины волны удобнее рассчитывать через относительные погрешности
при этом последним слагаемым под корнем можно пренебречь.
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Величины диаметров и их квадратов ряда колец для трех светофильтров (в виде таблицы).
| Зеленый фильтр | Красный | Синий | ||||
| m | d (мм) | d2 (мм2) | d (мм) | d2 (мм2) | d (мм) | d2 (мм2) |
| .. | ||||||
| … | ||||||
|
|
|
2. Графики зависимости dm 2 = f (m) для трех длин волн.
3. Расчет по методу наименьших квадратов tgj для трех длин волн.
4. Расчет величины Rx и ее погрешности.
5. Расчет двух длин волн и их погрешностей.
ВОПРОСЫ
1. В чем различие между интерференционными полосами равного наклона и равной толщины? Примером, какого из этих случаев являются кольца Ньютона?
2. В чем различие колец Ньютона наблюдаемых в отраженном и проходящем свете?
3. Каково условие образования темного (светлого) кольца Ньютона?
4. Какие особенности имеют кольца Ньютона при наблюдении в белом свете?
Работа 71.2. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
Прежде чем приступить к выполнению работы необходимо ознакомиться с введением по теме «Интерференция и дифракция».
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определить длины волн нескольких линий ртутного спектра с помощью дифракционной решетки.
|
|
|
