 |
Случайные величины и законы их распределения.
|
|
|
|
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Теорема сложения вероятностей: вероятность события Р (А или В) равна сумму вероятностей этих событий: 
Р(А) + Р(В). Теорема применяется для несовместных событий.
П р и м е р: в корзине находятся 5 белых, 6 черных, 4 красных шара. Какова вероятность, что из корзины будет извлечен белый или красный шар?
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 5/15 + 4/15 = 9/15 = 0.6
Теорема умножения вероятностей
а) для независимых событий;
Вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Р(А и В) = Р(А) ´ Р(В).
П р и м е р: в первой корзине находятся 5 красных и 10 белых шаров, во второй - 10 красных и 20 белых шаров. Из каждой корзины вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белого цвета?
Р(А и В) = Р(А) ´ Р(В) = 10/15 ´ 10/30 = 0.22
б) для зависимых событий. Вероятность двух (и более) зависимых событий Р(А и В) и равна произведению вероятности первого события Р(А) на условную вероятность второго Р(В/А):
Р(А и В) = Р(А) ´ Р(В/А).
Эта теоремасправедлива и для большего числа зависимых событий.
П р и м е р: в корзине находятся 5 белых, 6 черных, 4 красных шара. Какова вероятность, что из корзины будут извлечены 2 черных шара?
Р(А и В) = Р(А) ´ Р(В/А) = 6/15 ´ 5/14 = 0.14
Условная вероятность Р(В/А ) - это вероятность появления события В при условии, что событие А произошло.
ТЕОРЕМА О ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
Вероятность появления события Р(А), равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы Р(Hi) на вероятность события при этой гипотезе Р(А/Hi):
|
Формула полной вероятности
Р(А) -вероятность события;
Р(Hi) -вероятность гипотез;
Р(А/Hi) - вероятность события при соответствующей гипотезе.
|
|
|
П р и м е р: имеются три одинаковых корзины. В первой корзине - 2 белых и 1 черный шар, во второй - 3 белых и 1 черный шар; в третьей - 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность из наугад выбранной корзины извлечь белый шар.
Р е ш е н и е: рассмотрим 3 гипотезы - Н1 - выбрали первую корзину; Н2 -выбрали вторую корзину; Н3 -выбрали третью корзину.Если корзиныодинаковы, то Р(H1) =Р(H2) =Р(H3) = 1/3.
Условные вероятности события А при этих гипотезах:
Р(А/H1) = 2/3; Р(А/H2) = 3/4; Р(А/H3)= 1/2.
Вероятность события А рассчитаем по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р (Н1) ´Р(А/Н1)+Р (Н2)´Р (А/Н2)+Р(Н3)´Р (А/Н3) = 1/3 ´ 2/3 +1/3´ 3/4 + 1/3 ´ 1/2 = 0,639.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ В ДИАГНОСТИКЕ. ТЕОРЕМА БАЙЕСА.
(Ливенцев Н.М., стр. 308)
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса.
Задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности каждой из имеющихся в таблице болезней. Это можно сделать на основании теоремы об умножении вероятности с использованием формулы Байеса:
Р(Hi/А) -вероятность гипотезы при данном симптомокомплексе;
Р(Hi) - вероятность гипотезы;
Р(А/Hi) -вероятность симптомокомплекса при данном заболевании.
Диагностическая таблица (упрощенный вариант).
| Р (S1/Hi ) | Р (S2/Hi ) | Р (S3/Hi ) | |
| Р(H1) = 0.4 | 0.1 | 0.4 | 0.3 |
| Р(H2) = 0.5 | 0.2 | 0.1 | 0.9 |
| Р(H3) = 0.1 | 0.4 | 0.9 | 0.7 |
Р(S1/Hi ) -вероятность первого симптома при разных заболеваниях;
Р(S2/Hi ) -вероятность второго симптома при разных заболеваниях;
Р(S3/Hi ) -вероятность третьего симптома при разных заболеваниях.
Если в наличии все три симптома (симптомокомплекс), то:
Р(А/H1)=Р(S1/H1 )´Р(S2/H1 )´Р (S3/H1 )= 0.1´0.4´ 0.3 = 0.012
Р(А/H2)=Р(S1/H2 )´Р(S2/H2 )´Р(S3/H2 )= 0.2´0.1´0.9 = 0.018
Р(А/H3)=Р(S1/H3 )´Р(S2/H3 )´Р(S3/H3 ) = 0.4´0.9´0.7 = 0.252
Вероятность первого заболевания при данном симптомокомплексе:
|
|
|
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
(А.Н.Ремизов, 1987,стр.31-32, А.Н.Ремизов, 1999,стр.24-25).
Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств. Различают д и с к р е т н ы е и н е п р е р ы в н ы е случайные величины.
Дискретной называют величину, если она принимает счетное множество значений.
(Пример: число пациентов на приеме у врача, число букв на странице, число молекул в заданном объме).
Непрерывной называют величину, которая может принимать значения внутри некоторого интервала.
(П р и м е р: температура воздуха, масса тела, рост человека и т.д.)
Законом распределения случайной величины является совокупность возможных значений этой величины и, соответствующих этим значениям, вероятностей (или частот встречаемости).
П р и м е р:
| x | x1 | x2 | x3 | x4 | ... | xn |
| p | р1 | р2 | р3 | р4 | ... | pn |
| m | m1 | m2 | m3 | m4 | ... | mn |
|
|
|
