 |
Тема 3. 2. Правило дифференцирования сложной функции
|
|
|
|
| Производная сложной, неявно и параметрически заданной функции |
| Производная сложной функции |
| y = f (u), u = j(x) y'x = f'u × u'x, где u — промежуточный аргумент. |
| Производная функции, заданной неявно F (x; y) = 0 |
| Продифференцировать уравнение F (x; y) = 0 по x, считая y функцией от x. Разрешить полученное выражение относительно y'. |
Производная функции, заданной параметрически
|
|
| Логарифмическое дифференцирование |
Прологарифмировать исходное уравнение
y = f (x) (т.е. ln y = ln f (x)).
Полученное выражение продифференцировать по x, считая y функцией от х (т.е.)
и выразить из него y'.
|
| Производная второго порядка |
|
Пример 3.4. Найти производные функций:
Решение:
б) По правилу дифференцирования произведения двух функций <…>
в) По правилу дифференцирования частного двух функций <…>
Учитывая, что (sin2 х)' = 2sin x (sin x)' = 2sin x cos x = sin 2 x,
после преобразований получаем
г) Применяя метод логарифмического дифференцирования, находим вначале
Теперь
Пример 3.5. Найти производные функций у'х:
а) еy + е - х + ху = 0;
Решение, а) При дифференцировании неявно заданной функции учитываем, что у есть функция от х, получаем
ey × y ¢ + e - x (- x)¢ + x ¢ y + xy ¢ = 0 или
ey × y ¢ - e - x + y + xy ¢ = 0, откуда
Используя правило дифференцирования функций, заданных параметрически, получаем
Отсюда
ТЕМА 3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ
Теорема 3.5. (Правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.
Пример 3.6. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить следующие пределы:
|
|
|
Решение
прологарифмируем обе части этого равенства.
ln y = 0 Þ y = e 0 = 1. Таким образом,
Замечание. Если после применения правила Лопиталя, отношение производных снова представляет собой неопределенность или и f' (x) и g' (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и функции f (x) и g (x) и, то правило Лопиталя применяют повторно.
Вывод о возможных случаях использования правила Лопиталя удобно представить в виде таблицы 3.1.
Таблица 3.1
| Вид неопределенности | Способ раскрытия неопределенности |
| Применить правило Лопиталя |
| Представить в виде дроби или |
| Данное выражение обозначить новой переменной; прологарифмировать полученное равенство; применить правило Лопиталя |
ТЕМА 3.4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные функции многих переменных
Рассмотрим функцию двух переменных
z = f(x, y).
Определение 3.4. Частной производной функции z = f (x, y) в точке (x 0, y 0) Î D (у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).
При введении частной производной по любой переменной остальные переменные были фиксированы. Данное определение совпадает с определением производной функции одной переменной. Следовательно, частную производную можно найти, зафиксировав все переменные, кроме одной, считая их постоянными. Производная находится как производная функции одной переменной, т. е.
Все правила и формулы, справедливые для производной функции одной переменной, остаются справедливыми и для частных производных.
Пример 3.7.
Пример3.8.
Полный дифференциал
Определение 3.5. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции.
|
|
|
Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y). Если приращение функции можно представить в виде
где a, b ¾ бесконечно малые функции при ∆ x ® 0, ∆ y ® 0, соответственно, то выражение dz = A∆x + B∆y называется полным дифференциалом функции двух переменных.
Теорема 3.6. Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных.
Пример 3.9.
Пример 3.10.
Найти частные производные функции
Решение
При дифференцировании по х считаем постоянной величину у. Таким образом, При дифференцировании по у считаем постоянной величину х, следовательно, ►
|
|
|
